Apakah grup Clifford terbatas?

Question

Untuk apapun tetap $n$, bagaimana kita membuktikan bahwa $n$-qubit Clifford grup (subkelompok $ U(2^n) $yang dihasilkan oleh gerbang Hadmard, gerbang fase-shift, dan gerbang CNOT) apakah finte atau tidak? Saya tahu bahwa untuk kasus qubit tunggal, di mana hanya gerbang H dan gerbang S yang terlibat, itu adalah grup terbatas karena kedua gerbang ini sesuai dengan$\pi$rotasi pada bola Bloch sepanjang sumbu yang mewujudkan simetri. Saya kira itu tetap terbatas dalam kasus multi-qubit tetapi saya tidak dapat menemukan cara untuk membuktikannya dengan ketat.

Selain itu, jika terbatas, apa ekspresi dari jumlah elemen dalam grup sebagai fungsinya $n$?

Answer 1

Terkadang, ada sedikit kebingungan seputar grup Clifford di lapangan ... dan ini masalah definisi.

Banyak orang mendefinisikan grup Clifford $\mathrm{Cl}_n(p)$ dari $n$ qudits dimensi prima $p$sebagai penormal kesatuan dari kelompok Pauli umum (misalnya Gottesman, Nielsen & Chuang). Dengan demikian, ini jelas bukan kelompok yang terbatas seperti pusatnya$U(1)$.

Namun, ini juga merupakan definisi yang buruk, baik dari sudut pandang matematis maupun fisik. Mengapa? Pertama, karena pusat secara matematis membosankan dan tidak menambahkan apapun ke struktur kelompok dan kedua, karena fase global dari suatu kesatuan tidak fisik.

Ada tiga cara untuk menyelesaikan ini:

1. Tentukan oleh generatornya (lihat makalah Gottesman tentang generator dengan dimensi yang lebih tinggi). Kemudian, jelas bahwa itu terbatas karena semua generator memiliki entri matriks aljabar. Menggunakan generator standar, Anda masih akan mendapatkan center yang terlalu besar dalam case qubit:$\mathbb{Z}_8$. Yang minimal adalah$\mathbb{Z}_4$ dalam kasus qubit an $\mathbb{Z}_p$dalam kasus qudit. Mendefinisikan ulang$H$ gerbang sebagai $\frac{1+i}{\sqrt{2}} H$ membuat pusatnya minimal untuk qubit.
2. Anda dapat mendefinisikannya sebagai penormal dalam grup kesatuan dengan entri di $\mathbb{Q}[i]$(bilangan kompleks rasional). Ini akan memberi Anda grup dengan pusat minimal (lihat Referensi 1).
3. Tentukan kelompok proyektif $\overline{\mathrm{Cl}}_n(p):=\mathrm{Cl}_n(p)/U(1)$, atau setara, gambar di bawah representasi adjoint, yaitu ~ saluran kesatuan yang terkait dengan Cliffords. Elemennya dapat dilihat sebagai permutasi operator Pauli (mungkin dengan fase tambahan) yang mempertahankan hubungan pergantian. Sejak ada$p^{2n}$ Operator Pauli, jumlah permutasi terbatas (dan karenanya $\overline{\mathrm{Cl}}_n(p)$). Apalagi itu berlaku$$ \overline{\mathrm{Cl}}_n(p)/\overline{\mathcal{P}}_n(p) \simeq \mathrm{Sp}_{2n}(p), $$ dimana $\overline{\mathcal{P}}_n(p)$ adalah kelompok Pauli (digeneralisasikan) hingga fase dan $\mathrm{Sp}_{2n}(p)$ adalah kelompok simplektis di atas bidang berhingga $\mathbb{F}_p$. Kardinalitasnya adalah$$ |\mathrm{Sp}_{2n}(p)| = p^{n^2} \prod_{i=1}^n (p^{2i} - 1). $$ Jadi, kelompok proyektif Clifford memiliki kardinalitas $$ |\overline{\mathrm{Cl}}_n(p)| = |\overline{\mathcal{P}}_n(p)| |\mathrm{Sp}_{2n}(p)| = p^{2n} p^{n^2} \prod_{i=1}^n (p^{2i} - 1) $$Untuk yang non-proyektif, seseorang harus mengalikan dengan urutan pusatnya. Untuk referensi, lihat mis. Ref. 2

Referensi:

1. Gabriele Nebe, EM Rains, dan NJA Sloane. “Invarian dari kelompok Clifford”
2. D. Gross, "Teorema Hudson untuk sistem kuantum dimensi hingga"