Apakah satu-satunya `FlippyFloppyMorphism`` const mempty`?

Question

Di Haskell, kami memiliki fakta menarik bahwa semua tipe konstruktor f :: * -> *yang secara simultan a Functordan a Contravariantadalah bayangan dalam parameter tipenya:

phantom :: (Functor f, Contravariant f) => f x -> f y

Cara lain untuk meletakkan ini adalah bahwa setiap jenis konstruktor yang secara simultan a Functors dan a Contravariantsecara alami isomorfik Const x, untuk beberapa x.

Ini menyiratkan bahwa satu-satunya cara (hingga isomorfisme) untuk membuat instance kelas:

class FlippyFloppyFunctor f
  where
  ffmap :: Either (y -> x) (x -> y) -> f x -> f y

sehingga mematuhi hukum functor:

ffmap (Left id)       = id
ffmap (Right id)      = id
ffmap (Left  (g . f)) = ffmap (Left f)  . ffmap (Left g)
ffmap (Right (f . g)) = ffmap (Right f) . ffmap (Right g)

adalah:

weirdmap :: Either (y -> x) (x -> y) -> Const r x -> Const r y
weirdmap = const $ \(Const x) -> Const x

yaitu modulo tipe baru const id,.

Saya merasa sulit untuk memahami mengapa ini adalah satu-satunya fungsi dari tipenya yang memenuhi batasan, meskipun saya dapat memahami berbagai argumen informal yang melibatkan absurd :: Void -> a/ discard :: a -> ()mengapa keberadaan peta semacam itu menyiratkan functor "adalah hantu" dalam tipenya parameter.

Untuk memahaminya dengan lebih baik, saya mencoba menyederhanakan masalah. Daripada memikirkan FlippyFloppyFunctor, mari pikirkan:

class (Monoid a, Monoid b) => FlippyFloppyMorphism a b
  where
  ffmorph :: Either a a -> b

dengan hukum analog:

ffmorph (Left mempty)    = mempty
ffmorph (Right mempty)   = mempty
ffmorph (Left  (y <> x)) = ffmorph (Left x)  <> ffmorph (Left y)
ffmorph (Right (x <> y)) = ffmorph (Right x) <> ffmorph (Right y)

Dengan asumsi itu adan b merupakan monoid non-komutatif , apakah masih benar bahwa satu-satunya implementasi yang sah FlippyFloppyMorphismadalah const mempty? Apakah masih mungkin untuk menjelaskan mengapa morfisme harus menjadi "hantu" dalam monoid masukan, tanpa memiliki Voidatau ()untuk merujuk?

Answer 1

Bagi saya, jawaban dalam kasus umum adalah "tidak", karena monoid dapat bersifat komutatif.

Jika monoid itu komutatif, maka Dual amonoid itu sama dengan a, dan Either a asama dengan a, dan karenanya kita hanya merosot untuk menanyakan apakah ffmorphsatu-satunya homomorfisme monoid a -> b. Jawabannya adalah tidak".

Misalnya, untuk monoid komutatif penjumlahan, kami memiliki replicate 'a' :: Either (Sum Int) (Sum Int) -> String, di mana:

replicateA (Left  0) = ""
replicateA (Right 0) = ""
replicateA (Left  (y + x)) = replicateA (Left x) ++ replicateA (Left y)
replicateA (Right (x + y)) = replicateA (Left x) ++ replicateA (Left y)

Namun, saya pikir mungkin kasusnya untuk _non_commutative monoids, satu-satunya penerapan yang mungkin adalah const mempty(yang saya masih belum memiliki buktinya).