Arti Nilai Eigen untuk operator posisi
Untuk setiap yang dapat diamati dalam mekanika kuantum, ada operator yang sesuai dengannya. Saya tidak mengerti apa arti dari eigenvalues dari$\hat{x}$operator. Sejak$\hat{x}$itu hermitian, eigenvalues berhubungan dengan bilangan real, apa arti fisiknya? Jika mereka mendeskripsikan sebuah partikel yang terlokalisasi pada titik tertentu, bukankah itu bertentangan dengan sifat statistik mekanika kuantum?
Kedua: Karena operator posisi dan momentum tidak bolak-balik, vektor eigen Hamiltonian biasanya berbeda dari vektor eigen operator posisi dan momentum. Tapi saya lihat di buku menerapkan$\hat{x}$ ke $\psi_n$a mewakili autostates dari operator Hamiltonian. Bagaimana cara menemukan autostate untuk$\hat{x}$ jika mereka tidak sama yang diperoleh dengan menyelesaikan persamaan Schrödinger?
Jawaban
Nilai eigen adalah nilai yang diukur dalam percobaan, yaitu nilai eigen $\hat{x}$adalah nilai posisi yang diperoleh saat mengukurnya. Setiap pengukuran akan menghasilkan hasil yang berbeda, yaitu nilai eigen yang berbeda, kecuali jika sistem disiapkan dalam keadaan eigen dari kuantitas yang diukur - inilah sifat statistik mekanika kuantum. Jadi, setelah$N$ pengukuran kami memiliki rata-rata sampel $$ \bar{x} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N x_i, $$ yang nilainya mendekati yang diperkirakan dalam mekanika kuantum, $\langle \hat{x}\rangle$. (Semua ini terlihat sepele, tetapi masalah fisika modern adalah QM sering diajarkan kepada siswa yang belum pernah mengambil mata kuliah statistik.)
Keadaan sistem tidak harus menjadi eigenstate semua operator, yang merupakan inti dari prinsip ketidakpastian. Jadi, eigenstate operator Hamiltonian memiliki energi yang jelas, tetapi posisinya tidak pasti dan momentumnya sering tidak pasti. Misalnya, eigenstate osilator harmonik memberikan distribusi posisi Gaussian, yaitu$x_i$ diukur di atas akan didistribusikan, seolah-olah berasal dari distribusi Gaussian, dengan varians $\sigma_x^2 = \langle \hat{x}^2\rangle - \langle \hat{x}\rangle^2$.
Kadang-kadang dikatakan bahwa distribusi delta $\delta(x-x_0)$ adalah status eigen dari operator posisi $\hat x$. Namun, seperti namanya, itu bukanlah fungsi klasik dan bukan elemen ruang Hilbert$x$didefinisikan pada. Hal yang sama berlaku untuk operator momentum dan fungsinya$e^{i\langle x,k\rangle}$. Mereka bukan persegi yang dapat diintegrasikan dan, karenanya, tidak ada elemen ruang Hilbert. Jelas, vektor eigen harus menjadi elemen ruang Hilbert, jadi ada apa?
Masalah yang kita hadapi di sini adalah dimensi tak terhingga dari ruang Hilbert kita. Segala sesuatunya menjadi lebih canggih daripada dalam skenario dimensi hingga di mana kita hanya dapat menghitung status eigen (dan kita tahu bahwa ini adalah elemen ruang Hilbert). Masih seorang operator$\hat A$ dapat memiliki status eigen yang ditentukan oleh solusi non-sepele dari $$(\hat A - \lambda \cdot\operatorname{id})| \psi\rangle = 0$$ untuk $\lambda\in\mathbb{C}$ dan a $|\psi\rangle\in\mathcal{H}$ di domain $\hat A$. Dalam dimensi tak terhingga, operator tidak harus didefinisikan di seluruh ruang Hilbert. Ambil contoh$\hat x$, ia dapat mengeluarkan suatu fungsi dari ruang Hilbert dengan mengembalikan fungsi integral tak-persegi. Nilai eigen$\lambda$ diperoleh dengan cara itu disebut spektrum titik $\hat A$. Namun, seperti disebutkan di atas, distribusi delta bukanlah elemen ruang Hilbert dan, karenanya, tidak dapat berkontribusi pada spektrum titik. Sebaliknya, mereka mewakili jenis spektrum lain, spektrum kontinu . Operator posisi dan momentum untuk partikel bebas tidak memiliki spektrum titik, tetapi hanya spektrum titik. Operator Hamilton dari atom Hidrogen adalah contoh operator dengan spektrum titik (keadaan terikat) serta spektrum kontinu ($E>0$, status hamburan). Untuk pengenalan yang bagus tentang sistem kuantum berdimensi tak hingga dan kekhasannya, lihat kuliah F. Schuller .
Untuk spektrum titik, kita menemukan sekumpulan vektor eigen diskrit (misalnya dengan menyelesaikan persamaan Schrödinger). Namun, spektrum bersebelahan biasanya digambarkan oleh ukuran yang dinilai operator$\mu$ di $\mathbb{R}$. Pada prinsipnya, ini memberi tahu kita kelayakan mengukur suatu keadaan dengan hasil pengukuran dalam subset$A\subseteq\mathbb{R}$. Sekarang, menemukan "keadaan eigen" dari spektrum bersebelahan ini sesuai dengan menemukan ukuran yang tepat$\mu$.
Saya harap ini dapat membantu Anda. Konstruksi explict dari ukuran tersebut dapat dilakukan dengan menggunakan operator resolvent misalnya. Hal tersebut dijelaskan dalam video kuliah ini . Bersulang!