Batasi evaluasi.

Question

Dalam N. Piskunov dia menjelaskan persamaan diferensial dengan mengambil contoh hambatan udara yang bekerja pada benda jatuh. Setelah mengevaluasi persamaan diferensial dia mendapatkan persamaan kecepatan sebagai:$$v = \left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k}.$$

Dia kemudian menyatakan bahwa jika $k = 0$ maka persamaan tersebut berubah menjadi persamaan dasar: $$v = v_o + gt.$$

Sekarang saya memahami pernyataan ini karena ketika hambatan udara nol persamaan kecepatan ini berlaku. Namun saya tidak dapat membuktikan pernyataan ini ketika saya mengevaluasi batas:$$\lim_{k \rightarrow 0} \left[\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right]$$

Bantuan apa pun yang mengevaluasi batas akan sangat dihargai!

Answer 1

Kamu punya

$$\begin{equation}\begin{aligned} \lim_{k \rightarrow 0} \left[\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right] & = \lim_{k \rightarrow 0} \left[v_oe^{-\frac{kt}{m}} - \frac{mg}{k}e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right] \\ & = \lim_{k \rightarrow 0} \left[v_{o}e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg\left(1 - e^{-\frac{kt}{m}}\right)}{k} \right] \\ \end{aligned}\end{equation}\tag{1}\label{eq1A}$$

Batas dari istilah pertama, yaitu $v_{o}e^{-\frac{kt}{m}}$, hanya sederhana $v_{o}$. Untuk istilah kedua, karena limitnya menjadi itu$\frac{0}{0}$, menggunakan aturan L'Hôpital , memberi

$$\begin{equation}\begin{aligned} \lim_{k \rightarrow 0} \frac{mg\left(1 - e^{-\frac{kt}{m}}\right)}{k} & = \lim_{k \rightarrow 0} \frac{mg\left(-e^{-\frac{kt}{m}}\left(-\frac{t}{m}\right)\right)}{1} \\ & = mg\left(\frac{t}{m}\right) \\ & = gt \end{aligned}\end{equation}\tag{2}\label{eq2A}$$

Anda juga bisa menggunakan dnfu 's question comment terdaftar fakta untuk mendapatkan nilai yang sama. Hasil gabungan dari \ eqref {eq1A} memberikan

$$\lim_{k \rightarrow 0} \left[\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\frac{kt}{m}} + \frac{mg}{k} \right] = v_{o} + gt \tag{3}\label{eq3A}$$

Answer 2

Sebagai alternatif, kami memiliki batas standar $\frac{e^x-1}{x} \to 1$ sebagai $x \to 0$

$$ \frac{mg\left(1 - e^{-\frac{kt}{m}}\right)}{k} =gt \,\frac{ e^{-\frac{kt}{m}}-1}{-\frac{kt}m} \to gt \cdot 1= g t$$

dan hasilnya mengikuti.

Answer 3

Dengan

$$e^{-\dfrac{kt}{m}}\approx 1-\dfrac{kt}{m},$$

$$\left(v_o - \frac{mg}{k}\right)e^{-\dfrac{kt}{m}} + \frac{mg}{k}$$

menjadi

$$v_o+\left(g-\frac{kv_0}m\right)t\approx v_o+gt.$$