bilangan prima & gcd [duplikat]

Question

Saya hanya ingin memastikan tentang suatu masalah.

Membiarkan$m, p= \text{prime}∈ ℕ-\{0\}$

Jika $$m≤p^k,$$

apakah yang berikut ini ada? $$\gcd⁡(m,p)≠1⟺ \gcd⁡(m,p^k)≠1$$ dan melakukan pembatasan $$m≤p^k$$ penting bagi keberadaan?

Terima kasih sebelumnya!!!

Answer 1

$m \le p^k$tidak diperlukan. Jika gcd$(m,p) \neq1$ kemudian $m$ dan $p$ harus berbagi faktor yang sama, karena satu-satunya faktor $p$ adalah $p$ (dan satu, tapi kita tidak perlu khawatir tentang itu) setidaknya $p$ harus menjadi faktor $m$. Jika sekarang kita lihat gcd$(m,p^k)$ $p^k$ akan memiliki faktor $p$ dan kita sudah tahu itu $m$ memiliki faktor $p$ dan karena itu gcd$(m,p^k) \neq1$ karena setidaknya harus sama dengan $p$. Kami tidak pernah meminta$m \le p^k$.