Bukti bijak.

Question

Membiarkan $A$ dan $B$ menjadi set terbatas, buktikan itu $|A\times B|=|A||B|$.

Sejak $A$ dan $B$ adalah himpunan terbatas, maka dapat direpresentasikan sebagai berikut, $$A=\{a_1,\ldots,a_m\}\quad \text{and}\quad B=\{b_1,\ldots, b_n\}$$ Kemudian saya mendefinisikan sebuah fungsi $$\varphi:A\times B\to \{1,2,3,\ldots,mn\}=I_{mn}$$ diberikan oleh $$\varphi(a_i,b_j)=(i-1)n+j$$ Siapa yang membantu saya untuk membuktikan atau bagaimana membuktikan bahwa fungsi ini memang bersifat bijektiva.

Answer 1

Saya pikir Anda harus membuktikan bahwa:

Diberikan bilangan asli $m$ dan $n$ dan biarkan $f: \mathbb{N}_{m} \times \mathbb{N}_{n}\to \mathbb{N}_{mn}$, oleh $$f(i,j)=(i-1)n+j$$Begitu, $f$ adalah kebijaksanaan.

Anda dapat menggunakan teorema pembagian, misalnya Anda mungkin harus menangani angka $\mathbb{N}_{mn}$ yang habis dibagi $n$ sebagai kasus terpisah.

Pendekatan lain [1]: Anda dapat membuktikannya jika$A$ dan $B$ adalah himpunan terbatas, lalu $A\times B$ adalah himpunan terbatas dan $$|A\times B|=|A||B|$$ menggunakan langkah-langkah berikut:

1. Jika $\{b\}$ adalah seorang lajang, lalu $|A\times \{b\}|=|A|$.
2. Jika $B=\{b_{1},b_{2},\ldots,b_{n}\}$, kemudian $$A\times B=\bigcup_{i=1}^{n}\left(A\times \{b_{i}\}\right)$$
3. Akhirnya, Anda bisa menyimpulkan itu $$|A\times B|=mn=|A||B|$$

Pendekatan lain [2]: Anda dapat menggunakan induksi$|B|$. Untuk mengatakan, buktikan itu$$\forall n \in \mathbb{N}, \forall A,B: |A|,|B|<\infty \wedge |B|=n \implies |A\times B|<\infty \wedge |A\times B|=|A|n$$

Answer 2

Untuk apapun $0\lt k \leq mn~ \exists q, r~(k=qn+r)$ dengan $0 \leq r \lt n$ dan $q \in \Bbb N$. Catat itu$q, r$unik dengan properti tersebut. Jika$r=0$, peta $f: k \mapsto (q-1, r)$. Jika$r \neq 0$, peta $f: k \mapsto (q, r)$. Ini$f$ adalah kebijaksanaan yang Anda inginkan.