Contoh UFD2 tapi bukan UFD1
Saya mengatasi teorema yang mengatakan:
Biarkan R menjadi Domain Integral. Jika setiap elemen Irreducible adalah Prime maka memenuhi UFD 2. Converse (yaitu, UFD 2 menyiratkan setiap elemen Irreducible adalah Prime) adalah benar jika UFD 1.
dimana,
UFD 1 pada dasarnya adalah Adanya Faktorisasi dari setiap elemen.
UFD 2 adalah Keunikan Faktorisasi untuk setiap faktorisasi dari setiap elemen.
Kami tahu bahwa menjadi UFD memenuhi UFD 1 dan UFD 2.
Sekarang saya kesulitan mencari contoh situasi ketika UFD 2 memuaskan tetapi BUKAN UFD 1.
Adakah yang bisa membantu saya dengan ini? Terima kasih sebelumnya. (Harap tulis sedikit detail jika memungkinkan)
Ide dasar saya adalah untuk mencari tahu contoh untuk kasus yang UFD 2 tidak menyiratkan bahwa Setiap elemen yang tidak dapat direduksi adalah Perdana dengan menghindari UFD 1 (jika faktorisasi ada maka itu harus unik tetapi tidak wajib bahwa setiap elemen akan memiliki faktorisasi).
Jawaban
Perhatikan bahwa cincin harus non-Noetherian agar gagal UFD 2, karena jika $x$ gagal untuk memiliki faktorisasi menjadi tak tereduksi, maka pasti begitu $x$faktor entah bagaimana sebagai$x=ab$ dimana $a$ dan $b$ bukan unit dan juga $a$ atau $b$ tidak memiliki faktorisasi menjadi tak tereduksi - dan kita kemudian dapat melihat faktorisasi itu dan seterusnya untuk menghasilkan rantai tak terbatas $x_1,x_2,x_3,\ldots$ di mana setiap suku dengan tegas membagi yang terakhir - dan kemudian $(x_1)\subsetneq (x_2) \subsetneq (x_3) \subsetneq\ldots$ akan menjadi rantai ideal yang tak terbatas.
Jadi, kita bisa mulai dengan melihat cincin non-Noetherian favorit kita dan melihat apa yang terjadi - contoh yang terlintas di benak saya adalah membiarkan $R$ menjadi himpunan ekspresi polinomial dengan koefisien rasional dalam bentuknya $x^{n/2^k}$ untuk $n,k\in\mathbb N$ - atau, ekuivalen, batas langsung cincin $$\mathbb Q[x]\rightarrow\mathbb Q[x^{1/2}] \rightarrow \mathbb Q[x^{1/4}]\rightarrow\ldots .$$ Elemen $x$tidak memiliki faktorisasi menjadi tak tereduksi di cincin ini. Ini mengikuti dari mencatat bahwa faktor$x^{\alpha}$ hanyalah istilah formulir $x^{\beta}$ dimana $\beta \leq \alpha$ - tapi tidak satupun dari ini yang tidak bisa direduksi.
Namun, memang benar bahwa setiap elemen tidak dapat direduksi $p$adalah bilangan prima. Secara khusus, misalkan kita punya beberapa$a,b\in R$ seperti yang $p|ab$. Maka, itu harus semuanya$p$ dan $a$ dan $b$ berada di beberapa ring $\mathbb Q[x^{1/2^k}]$ dan itu $p$ tidak dapat direduksi dalam cincin ini - tetapi cincin ini bersifat isomorfik $\mathbb Q[x]$ yang merupakan arti PID $p$ jadi prima di dalamnya $p$ harus membagi juga $a$ atau $b$ di ring ini dan karena itu juga di $R$. Dengan demikian, cincin ini memiliki keunikan faktorisasi prima, tetapi tidak eksistensinya.
Salah satu idenya adalah menemukan cincin di mana tidak ada elemen yang memiliki faktorisasi. Contohnya adalah cincin bilangan aljabar$\overline{\mathbb Z}$, yang tidak memiliki elemen yang tidak dapat direduksi sama sekali: if $a$ adalah aljabar non-satuan, maka begitu juga $\sqrt a$; sejak$a = \sqrt a\cdot\sqrt a$, $a$ tidak bisa direduksi.
Untuk contoh yang tidak terlalu hampa, pertimbangkan cincinnya $\overline{\mathbb Z}[X]$dari banyak polinomial dengan koefisien aljabar. Di ring ini, elemen-elemen berupa$aX + b$ tidak dapat direduksi, di mana $a, b\in \overline{\mathbb Z}[X]$adalah coprime. Jika sebuah elemen$f\in \overline{\mathbb Z}[X]$memiliki faktorisasi, maka harus primitif: koefisiennya tidak boleh memiliki faktor persekutuan. Unsur seperti itu dapat difaktorisasikan secara unik sebagai produk dari faktor linier primitif.