Convolution Integral Linear Operator aktif $L^2$

Question

Tentukan operator linier di $L^2[0,1]$ oleh $K(f)(t) = \int_{0}^{t}(t-s)f(s)ds$. Diberikan$g \in L^2[0,1]$, Temukan $f$ seperti yang $f = g + K(f)$.

Saya benar-benar bingung bagaimana melakukan ini. Saya sudah menunjukkan itu$K$ adalah operator linier terbatas, jadi saya pikir mungkin saya bisa menggunakan teorema representasi Riesz, tapi menurut saya itu bukan arah yang benar.

Saya akan sangat menghargai petunjuk ke mana harus pergi. Terima kasih!

Answer 1

Persamaan integral dapat diselesaikan dengan menggunakan transformasi Laplace. Terapkan transformasi Laplace ke kedua sisi, dengan menggunakan fakta bahwa transformasi Laplace dari sebuah lilitan dua fungsi adalah hasil kali dari transformasi Laplace dari setiap fungsi. Dengan melakukan itu, dapatkan persamaannya$$F(s) = G(s) + \frac{G(s)}{2(s-1)} - \frac{G(s)}{2(s+1)}$$ dimana $F$ dan $G$ adalah transformasi Laplace dari $f$ dan $g$, masing-masing. Ambillah invers Transformasi Laplace suku demi suku, menggunakan teorema konvolusi untuk mencari invers Laplace dari suku kedua dan suku terakhir di ruas kanan.

Answer 2

Ini adalah pertanyaan yang sama dengan menunjukkan itu $f\mapsto K(f)-f$adalah operator linier dugaan. Karena$K$ adalah operator Hilbert-Schmidt, kompak, dan $T(f)=K(f)-f$karena itu adalah Fredholm. Faktanya, itu adalah Fredholm dari indeks nol, karena indeks Fredholm tidak berubah dengan penambahan kompak. Jadi jika kami menunjukkan bahwa kernel itu sepele, maka kami telah menunjukkan operatornya bersifat surjective.

Asumsikan bahwa $T(f)=0$, atau, setara, $K(f)=f$. Kemudian untuk hampir setiap$t$, $f(t)=\int_0^t (t-s)f(s)\,ds$. Karena gambar operator konvolusi kontinu, kita dapat memilih perwakilan kontinu$f$, dan minta persamaan yang tepat. Sekarang, kapan saja$t_0$, $\frac{1}{h}[f(t_0+h)-f(t_0)]=\frac{1}{h}\int_{t_0}^{t_0+h}(t-s)f(s)\,ds$, yang kurang dari atau sama dengan $\|f\|_\infty\cdot h$, dan oleh karena itu fungsinya dapat dibedakan. Sekarang, saat kita membedakan di bawah integral, kita melihatnya$f'(t_0)=\int_0^{t_0} f(s)\,ds$, dan ini artinya $f''(t_0)=f(t_0)$, jadi $f(t)=c_1\sin(t)+c_2\cos(t)$. Memasukkan ini dalam hasil segera itu$c_1,c_2=0$, jadi kernelnya sepele, dan indeks Fredholm menjadi nol berarti operatornya $T$ bersifat dugaan.