Desain Filter Kalman
Saya baru mengenal desain filter Kalman dan saya kesulitan memahami cara menerapkan metodologi filter Kalman ke masalah saya. Saya telah membaca makalah penelitian yang tampaknya menggambarkan apa yang saya coba lakukanhttps://journals.sagepub.com/doi/pdf/10.5772/57516. Makalah ini menjelaskan eksperimen di mana data yang dikumpulkan terdiri dari pengukuran noise yang dipasangkan dengan pengukuran kebenaran. Di kertas matriks filter Kalman ditetapkan sebagai berikut:
$$\boldsymbol{X}=\begin{bmatrix} b_{x} &P_{11} &P_{12} &P_{13} \end{bmatrix}^{T}$$
$$\boldsymbol{H}=\begin{bmatrix} 1 &r &0 &0\\ 1 &-r &0 &0\\ 1 &r/\sqrt{2} &r/\sqrt{2} &0\\ 1 &r/\sqrt{2} &0 &r/\sqrt{2}\\ \end{bmatrix}$$
$$\boldsymbol{\Phi} = \boldsymbol{I}_{4\times4}$$
Vektor negara menggambarkan bias dan status faktor skala. Sementara saya tidak sepenuhnya yakin bagaimana matriks H diturunkan, saya tidak dapat memahami bagaimana filter akan digunakan dengan data nyata yaitu pengukuran yang diamati menggantikan elemen r dalam matriks H, tetapi kebenaran dasar yang ini akan dikalibrasi atau dibandingkan dengan adalah nilai tunggal yaitu kita tahu tingkat sebenarnya atau percepatan sebenarnya, kita tidak tahu bias sebenarnya dan status faktor skala. Lalu bagaimana filter menyertakan kebenaran dasar yang saya asumsikan digunakan untuk memperbarui perkiraan istilah faktor bias dan skala. Bisakah seseorang menjelaskan bagaimana filter Kalman ditata untuk memungkinkan estimasi menggunakan pasangan pengukuran dan kebenaran dasar ini?
Jawaban
Pengukuran tidak dimasukkan ke dalamnya $H$. Itu$H$matriks adalah "matriks pengukuran" atau "matriks keluaran" sehingga Anda mendapatkan perkiraan keluaran saat mengalikannya$H$ dengan perkiraan vektor negara bagian Anda $\hat{X}$. Anda dapat melihat ini pada persamaan (23) di kertas yang Anda tautkan, di halaman dokumen 7:
Model tersebut dapat diekspresikan sebagai berikut:
$$ X_{i+1} = \Phi X_i + w_i \\ Z_{i+1} = HX_{i+1} + \epsilon_{i+1} \\ $$
Aksi filter Kalman terjadi pada persamaan (25), saat Kalman menguat $K_i$diterapkan pada kesalahan pengukuran atau "sisa." Kesalahan pengukuran adalah perbedaan antara apa yang sebenarnya Anda lihat, vektor pengukuran$Z_i$, dan apa yang Anda harapkan, yaitu matriks keluaran $H_i$ kali keadaan yang diprediksi $\hat{X}_{i|i-1}$.
Filter Kalman mengambil residu yang dimodifikasi itu dan menambahkannya ke status prediksi untuk mendapatkan status "dikoreksi" atau difilter. Itu semua terjadi sebagai satu persamaan di (25):
$$ \hat{X}_i = \hat{X}_{i|i-1} + K_i\left(Z_i - H_i\hat{X}_{i|i-1}\right) \\ $$
Dimana lagi $\hat{X}_{i|i-1}$ istilah berarti, "mengingat keadaan saya sebelumnya $i-1$, apa yang dikatakan model tentang status saya $i$ seharusnya? "Menulis ulang dari persamaan sebelumnya:
$$ X_{i+1} = \Phi X_i + w_i \\ $$
atau
$$ X_{i|i-1} = \Phi X_{i-1} \\ $$
atau
$$ X_{i|i-1} = (I + A\Delta t)X_{i-1} + B\Delta t u \\ $$
yang hanya merupakan integrasi numerik dari
$$ \dot{x} = Ax + Bu \\ $$
seperti yang
$$ x_i = x_{i-1} + \dot{x} \Delta t\\ x_i = x_{i-1} + (Ax_{i-1} + Bu)\Delta t \\ x_i = x_{i-1} + A\Delta t x_{i-1} + B \Delta t u\\ x_i = (I + A\Delta t) x_{i-1} + B\Delta t u \\ $$
Semoga ini lebih masuk akal!