Fungsi Linear $\varphi[h]=\lambda\psi[h]$, Variasi

Question

Dari Kalkulus Variasi, G&F , masalahnya adalah: Diberikan dua fungsi linier$\varphi,\psi$ di atas ruang linier $R$ seperti yang $\varphi[h]=0\iff\psi[h]=0$. Tunjukkan bahwa ada konstanta$\lambda$ seperti yang $$\varphi[h]=\lambda\psi[h]\tag{1}\label{eq1}$$

Membiarkan $S\subset R$ set dimana $\varphi,\psi$keduanya nol. Apa yang saya miliki sejauh ini adalah: biarkan$\bar{h}:=\{k\in R:h-k\in S\}$ kemudian ada $\lambda_h$ seperti yang $\varphi[k]=\lambda_h\psi[k]$ untuk setiap $k\in\bar{h}$, sehingga mempartisi $R$ke dalam kumpulan terpisah di mana \ eqref {eq1} ditahan secara lokal. Inilah yang saya miliki. Saya merasa hampir menyelesaikan solusi tetapi saya tidak bisa langsung melihatnya. Terima kasih

Answer 1

Kernel dari fungsional linier bukan nol selalu memiliki codimension$1$, karena teorema isomorfisme pertama.
Artinya jika$x\in R\setminus S$ adalah elemen apa pun, bersama-sama dengan $S$ sudah mencakup seluruh ruang, jadi $R={\rm span}(x)\oplus S$.
Perbaiki seperti itu$x$.

Tentu saja, ambil $\lambda:=\frac{\varphi(x)}{\psi(x)}$, seperti yang Anda lakukan 'secara lokal di $x$'.

Untuk skalar apa pun $\alpha$ dan $s\in S$ kita punya $$\lambda\psi(\alpha x+s)=\lambda\alpha\psi(x)=\alpha\varphi(x)=\varphi(\alpha x+s)\,.$$