Generasi kernel normal dari perkiraan kelompok bebas
Seandainya $\phi : F_n \to F_m$ adalah homomorfisme dugaan antara kelompok peringkat bebas $n$ dan $m$, masing-masing. Apakah kernel selalu dihasilkan secara normal? Jika demikian, dapatkah kami mengatakan tentang jumlah generator normal yang diperlukan dalam hal$n$ dan $m$?
Jawaban
Jawabannya ya, dan $n$adalah batas atas jumlah generator normal yang dibutuhkan. Saya tidak tahu apakah ada batasan yang lebih baik (seperti$n-m$ mungkin)?
Membiarkan $x_i$ ($1 \le i \le n$) dan $y_j$ $(1 \le j \le m)$ jadilah generator gratis $F_n$ dan $F_m$, dan pilih elemen $g_j \in F_n$ dengan $f(g_j) = y_j$ untuk $1 \le j \le m$.
Sekarang untuk masing-masing $x_i$, kita bisa menulis $f(x_i)$ sebagai sebuah kata $w_i(y_j)$ di $y_j^{\pm 1}$, dan $z_i := x_i^{-1} w_i(g_j) \in \ker f$ untuk $1 \le i \le n$.
Saya mengklaim itu $\ker f$ biasanya dihasilkan oleh $\{ z_i : 1 \le i \le n \}$. Membiarkan$N = \langle z_i \rangle^{F_n}$, jadi $N \le K$, dan kami ingin membuktikan kesetaraan.
Sekarang, karena ada kata di $x_i$ dapat ditulis ulang modulo $N$ sebagai sebuah kata di $w_i(g_j)$, kami melihat itu $F/N$ dihasilkan oleh elemen $w_i(g_j)$, dan karenanya juga oleh $\{ g_j : 1 \le j \le m \}$. Begitu$F/N$ isomorfik menjadi hasil bagi dari $F_m$dan, karena kelompok bebas dengan peringkat terbatas dikenal sebagai Hopfian (lihat di sini sebagai contoh), kita punya$K=N$ seperti yang diklaim.
Izinkan saya menguraikan jawaban Derek Holt, memberikan semacam generalisasi, di mana kita melihat dengan tepat bagaimana ikatan itu muncul. Pernyataan umum yang saya usulkan adalah sebagai berikut:
Membiarkan $p: G \twoheadrightarrow K$ menjadi epimorfisme terpisah antar kelompok, $s: K \hookrightarrow G$ menjadi bagian dari $p$, dan $H$ menjadi inti dari $p$. Jika$(x_i)_{i \in I}$ adalah keluarga yang menghasilkan $G$, lalu keluarga $(x_i \cdot sp(x_i)^{-1})_{i \in I}$ biasanya menghasilkan $H$.
Ini buktinya: Mari $N$ menjadi subkelompok $G$ biasanya dibuat oleh $x_i \cdot sp(x_i)^{-1}$. Ini adalah elemen dari$H$, karenanya $N \subseteq H$. Jadi$p$ faktor melalui hasil bagi $\pi : G \twoheadrightarrow G/N$ : ada yang unik $\bar p : G/N \rightarrow K$ seperti yang $\bar p \pi = p$. Sekarang,$\pi s$ adalah bagian dari $\bar p$, sejak $\bar p \pi s = ps = id_K$. Ini menyiratkan itu$\pi s$bersifat suntik. Bahkan,$\pi s$ bersifat dugaan, menurut definisi $N$. Memang,$G/N$ dibuat oleh $\pi(x_i)$, dan $\pi(x_i) = \pi(sp(x_i)) = \pi s(p(x_i))$ : gambar $\pi s$ berisi $\pi(x_i)$, darimana semua $G/N$. Jadi,$\pi s$ adalah isomorfisme, yang pemetaan kebalikannya $\bar p$. Sebagai konsekuensi,$1 = \ker(\bar p) = H/N$, yang artinya $H = N$, dan pernyataan itu terbukti.
Untuk melihat bahwa jawaban yang Anda cari adalah kasus khusus dari ini, Anda perlu berkomentar bahwa penolakan ke grup bebas selalu terbagi: pilihan lift apa pun ($y_j \mapsto g_j$dalam jawaban Derek Holt) meluas ke bagian epimorfisme Anda. Kemudian$w_i(g_j)$ dalam jawaban Derek Holt persis seperti saya $sp(x_i)$, dan Anda melihat bahwa jawaban kami dalam kasus ini sama.
Dan dari tampilan jawaban saya, saya menduga bahwa ikatan terbaik memang $n$, bahkan dalam kasus kelompok bebas (tapi saya tidak memiliki contoh yang baik; saya perlu memikirkannya).