Generator dari $S_4$

Question

Grup $S_4$ dihasilkan oleh $\{(12), (1234)\}$Sekarang sesuatu yang ingin saya ketahui adalah bagaimana saya akan menghasilkan dengan siklus pesanan $4$ dan siklus ketertiban apa pun $3$ dan ketertiban $2$.

Pertanyaan utama saya adalah menemukan jumlah homomorfisme, dan jika $\varphi(1234) \to -1$ dan $\varphi (12) \to -1$.

Lalu bagaimana saya akan menyimpulkan dari sini bahwa permutasi ganjil akan masuk $-1$ dan bahkan apapun akan pergi ke $1$. (Itu harus ditunjukkan dengan perhitungan kasar dan bukan dengan menggunakan teorema homomorfisme).

Saya benar-benar butuh bantuan.

Answer 1

Permutasi yang aneh $π$ harus diungkapkan sebagai kata dalam $(12)$ dan $(1234)$ dengan panjang yang aneh $n$, karena keduanya ganjil. Jadi$\varphi(π)=(-1)^n=-1$, sejak $\varphi$ adalah homomorfisme.

Answer 2

Menggunakan teori representasi (lihat https://math.stackexchange.com/q/3842441/432081) Saya telah bekerja, saya mengembangkan program python pemrosesan string untuk memperbanyak permutasi. Langkah demi langkah saya meningkatkan ukuran subset kelompok kerja kami; ada satu dan hanya satu representasi standar.

$\tau = (12)$

$\sigma = (1234) = (12)\,(23) \,(34)$

$\sigma^2 = (13)\,(24)$

$\sigma^3 = (14)\,(24)\,(34)$

$\tau\sigma = (23) \,(34)$

$\tau\sigma^2 = (13) \, (24) \, (34)$

$\tau\sigma^3 = (14)\,(34)$

$\sigma\tau = (13) \,(34)$

$\sigma^2\tau = (14) \, (23) \, (34)$

$\sigma^3\tau = (24)\,(34)$

$\tau\sigma\tau = (13) \, (23) \,(34)$

$\tau\sigma^2\tau = (14) \, (23)$

$\tau\sigma^3\tau = (12) \, (24) \,(34)$

$\sigma^2\tau\sigma^2 = (34)$

Dari sini Anda bisa 'mengupas' sisanya $5$ transposisi dan jelaskan mengapa, untuk transposisi apa pun $\omega$,

$\quad \varphi(\omega) = -1$