Grup Hingga / Tak Terbatas

Question

Manakah dari pernyataan berikut yang benar?

a) Ada banyak sekali kelompok terbatas di mana setiap elemen non-identitas memiliki keteraturan $2$.

b) Ada kelompok tak terbatas di mana setiap elemen non-identitas memiliki keteraturan $2$.

c) Ada kelompok tak terbatas di mana ada unsur keteraturan $n$ untuk semua $n\in \Bbb N$.

d) Ada banyak kelompok tak terhingga yang di dalamnya setiap elemen non-identitas memiliki urutan yang terbatas.

Upaya saya: Opsi 2 tampaknya benar karena saya memiliki contoh grup seperti itu (Kumpulan daya bilangan asli di bawah operasi biner perbedaan simetris adalah salah satu contohnya) tetapi saya tidak dapat menyimpulkan apa pun tentang opsi lain.

Tentang opsi 1, tampaknya hal itu benar mengingatnya $\Bbb Z_2\times \Bbb Z_2\times\cdots$tapi tetap saja saya bingung. Untuk dua opsi terakhir, saya tidak memiliki ide konklusif yang dapat saya terapkan di sini. Tolong bimbing.

Answer 1

(a) Untuk $n\geq 1$, $\prod_{i=1}^n\Bbb{Z}_2$ adalah kelompok terbatas yang setiap elemen nontrivial memiliki keteraturan $2$. Jadi, ada banyak sekali kelompok seperti itu.

(b) $\prod_{i=1}^{\infty}\Bbb{Z}_2$ adalah grup yang diinginkan.

(c) Anda dapat mempertimbangkan contohnya $\Bbb{Q}/\Bbb{Z}$. Kemudian untuk setiap$n\in \Bbb{N}$, $\frac{1}{n}+\Bbb{Z}$ adalah elemen keteraturan $n$ di $\Bbb{Q}/\Bbb{Z}$.

(d) Untuk $n\geq 2$, $\prod_{i=1}^{\infty}\Bbb{Z}_n$adalah kelompok tak terbatas yang setiap elemen nontrivial memiliki urutan terbatas. Jadi, ada banyak sekali kelompok seperti itu.

Answer 2

Jika lebih mudah bagi Anda untuk membuat konsep, Anda dapat menganggap setiap elemen terbatas, meskipun grup secara keseluruhan tidak terbatas.

Misalnya, untuk (2), kita dapat mengambil setiap elemen $G$ menjadi urutan terbatas yang terdiri dari $1$ dan $-1$ dan diakhiri dengan $-1$(identitas adalah urutan nol). Mencari$ab$, kami mengalikan nilai $a$ dan $b$ berpasangan, lalu akhiri urutannya di akhir $-1$. Jika panjangnya berbeda, kami menambahkan$1$ ke yang lebih pendek cukup banyak untuk membuatnya memiliki panjang yang sama, lalu kalikan. $G$ adalah tak terhingga karena meskipun setiap elemen individu memiliki panjang berhingga, ada jumlah tak terhingga dari panjang berhingga tersebut.

Strategi serupa bekerja untuk (3) dan (4). Untuk (3), kami mengambil urutan terbatas di mana$n$nilai th adalah elemen $\mathbb Z_n$, kecuali urutannya panjang 1, nilai terakhirnya bukan $1$. Untuk (4), kami mengambil variasi pada (3). Misalnya, kita dapat memulai urutan di$\mathbb Z_k$. Atau ambil$k$ salinan dari (3), dll.