Integrasi Rieman, Pemetaan terputus-putus

Question

Membuktikan $f\in\mathcal{R}$, kapan $f:[0,2]\to \Bbb{R}$, seperti yang $f(x)=x$ kapan $x \neq 1$, dan $f(x)=-1$, kapan $x=1$. Begitu$f$ memiliki diskontinuitas pada $1$.

Membiarkan $P$ menjadi partisi $[0,2]$, seperti yang $P=\{0<\frac{1}{n}<\frac{2}{n}<\cdots\frac{n-2}{n}<1+\frac{1}{n}<1+\frac{2}{n}<\cdots2\}$.

Dengan partisi ini, kami hanya mempertimbangkan sub-interval, yang terletak di kiri atau kanan $1$. Ini karena subinterval$\Delta x_i$, yang berisi titik diskontinuitas, tidak memiliki supremum $M_i$sesuai dengan itu. Agak,$M_i$ mendekati $1$ dan ini sangat memusingkan dalam hal buktinya.

Ini buktinya. Membiarkan$P$menjadi seperti di atas. Kemudian$$U(P,f)-L(P,f)=\sum_{i=1}^n\Delta x_iM_i-\sum_{i=1}^n\Delta x_im_i=\frac{1}{n}\Biggr(\sum_{i=1}^nM_i-m_i\Biggr)$$

dan dalam kasus ini $\sum_{i=1}^nM_i-m_i=2-(-1)=3$. Apakah ini benar?

Answer 1

Anda memilih partisi $P$ dengan poin

$$\underbrace{0,\,\frac{1}{n},\,\frac{2}{n},\,\cdots,\frac{n-2}{n}}_{x_0,x_1,\ldots, x_{n-2}},\,\underbrace{1+\frac{1}{n},\,1+\frac{2}{n},\,\cdots,\,2}_{x_{n-1}, x_{n-2},\ldots,x_{2n-1}}$$

Pada kasus ini,

$$U(P,f) - L(P,f) = \sum_{j=1}^{2n-1}(M_j - m_j) (x_j - x_{j-1}) \\ =\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n-2}\left(\frac{j}{n} - \frac{j-1}{n}\right) + \frac{3}{n}\left(1 + \frac{1}{n} -(-1) \right)+ \frac{1}{n}\sum_{j=2}^{n}\left(1+\frac{j}{n} - \left(1+\frac{j-1}{n}\right)\right)\\ = \frac{n-2}{n^2} + 3\frac{2+ 1/n}{n} + \frac{n-1}{n^2} = \frac{8}{n}, $$

yang cenderung $0$ sebagai $n$ cenderung $\infty$.

Karenanya, untuk apa pun $\epsilon > 0$ kita dapat menemukan partisi sedemikian rupa sehingga perbedaan antara jumlah atas dan bawah kurang dari $\epsilon$, membuktikan itu $f$ dapat diintegrasikan dengan kriteria Riemann.