Interpretasi mode normal dari rumus matematika

Question

Dalam topik osilasi kecil, sistem di bawah ini memiliki mode normal yang dijelaskan oleh:

$$n_{1} = \frac{x1+x2}{2}.$$

Mode normal ini direpresentasikan sebagai mode simetris:

Dalam hal ini, pusat massa bergerak sebagai osilator harmonik sederhana. Namun, gambar tersebut juga menunjukkan bahwa keduanya mulai dalam kondisi awal yang sama dan bergerak secara bertahap. Pertanyaan saya adalah di mana informasi itu berada pada koordinat normal$n_{1}$karena saya tidak dapat menghubungkan mode normal dengan gambar yang mewakilinya. Di mana dikatakan bahwa balok-balok itu harus dipasang pada jarak yang sama ke arah yang sama dalam rumus koordinat normal?

Answer 1

Anda harus memperhatikan bahwa koordinat normal lainnya diisyaratkan tetap pada nol sementara Anda mempertimbangkan gerakan sepanjang koordinat normal $n_1$.

Koordinat normal dua partikel (atau blok dalam kasus ini) secara umum dapat ditulis sebagai \begin{align} n_1 =& a_{11} x_1 + a_{12} x_2, \\ n_2 =& a_{21} x_1 + a_{22} x_2.\label{eq: n1n2}\tag{1} \end{align} Dalam kasus khusus Anda, $a_{11}=1/2$ dan $a_{12} =1/2$. Saya tidak menghitung$a_{21}$ dan $a_{22}$, tetapi Anda harus dapat melakukannya sesuai dengan definisi mode normal.

Kumpulan persamaan di atas dapat diselesaikan $x_1$ dan $x_2$ dalam bentuk \begin{align} x_1 =& b_{11} n_1 + b_{12} n_2, \\ x_2 =& b_{21} n_1 + b_{22} n_2, \label{eq: x1x2}\tag{2} \end{align} dimana $b_{ij}$ ditentukan oleh $a_{ij}$. Faktanya, dengan menulis kumpulan persamaan di atas berdasarkan matriks dan vektor, Anda dapat mengonfirmasi bahwa \ begin {persamaan} \ begin {pmatrix} b_ {11} & b_ {12} \\ b_ {21} & b_ {22} \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22} \ end {pmatrix} ^ {- 1}, \ end {persamaan} di mana$A^{-1}$ berarti matriks invers dari sebuah matriks $A$.

Kumpulan persamaan pertama (\ ref {eq: n1n2}) memberikan transformasi koordinat dari koordinat $(x_1,x_2)$ yang nyaman untuk pengukuran Anda dan operasi lainnya ke koordinat normal $(n_1,n_2)$yang sesuai untuk penghitungan dan beberapa jenis interpretasi yang terkait dengan penghitungan. Set kedua (\ ref {eq: x1x2}) memberikan transformasi terbalik. Artinya, setelah Anda menghitung evolusi waktu$n_1(t)$ dan $n_2(t)$ secara individual dengan memecahkan persamaan diferensial, Anda dapat memprediksi gerakan $x_1(t)$ dan $x_2(t)$ dari masing-masing partikel oleh (\ ref {eq: x1x2}).

Persamaan diferensial untuk koordinat normal adalah \ begin {persamaan} \ frac {d ^ 2 n_i} {dt ^ 2} = - \ omega_i ^ 2 n_i (t), \ end {persamaan} untuk$i=1,2$, dimana $\omega_i^2$ adalah konstanta, selama gaya yang bekerja pada balok $l$ adalah dari bentuknya $F_l = - \sum_j c_{lj} x_j$ dengan beberapa konstanta $c_{lj}$seperti halnya masalah Anda. Fungsinya,$n_2(t) = 0$ untuk semua $t$, adalah solusi yang valid untuk persamaan ini untuk kondisi awal, $n_2(0) =0$ dan $[dn_2/dt](0) =0$. Misalkan kondisi ini dipenuhi melalui (\ ref {eq: n1n2}) oleh nilai tertentu$x_j(0)$ dan $[dx_j/dt](0)$ ($j=1,2$) yang disiapkan dengan meletakkan tangan Anda pada sistem pegas dan massa di $t=0$. Ini$x_j(0)$ dan $[dx_j/dt](0)$ ($j=1,2$) juga menentukan nilai awal $n_1(0)$ dan $[dn_1/dt](0)$, dan karenanya memberikan solusi tertentu $n_1(t)$dari persamaan diferensial di atas. Dengan ini$n_1(t)$ dan $n_2(t) =0$, melalui (\ ref {eq: x1x2}), gerakan balok terlihat sebagai \begin{align} x_1(t) =& b_{11} n_1(t), \\ x_2(t) =& b_{21} n_1(t). \end{align} Jika $b_{11} =b_{21}$, kemudian $x_1(t) =x_2(t)$, yaitu, gerakan kedua balok adalah sama. Anda seharusnya bisa melihatnya sebenarnya$b_{11} = b_{21}$ untuk sistem Anda.

Answer 2

I) Persamaan gerak

Energi kinetik :

$$T=\frac{m}{2}\left(\dot{x}^2_1+\dot{x}_2^2\right)$$

Energi potensial

$$U=\frac{k}{2}\left(x_1^2+(x_2-x_1)^2+x_2^2\right)$$

dengan Euler Langrage Anda mendapatkan:

$${\ddot x}_{{1}}+{\frac {2\,kx_{{1}}-kx_{{2}}}{m}}=0\tag 1$$

$${\ddot x}_{{2}}+{\frac {2\,kx_{{2}}-kx_{{1}}}{m}}=0\tag 2$$

II) Persamaan gerak: Mode normal

Di ruang normal persamaan geraknya adalah:

$$\ddot n_1+\omega_1^2\,n_1=0\tag 3$$ $$\ddot n_2+\omega_2^2\,n_2=0\tag 4$$

untuk mendapatkan persamaan (3) dan (4) kita harus mengubah koordinatnya $~x_1~,x_2$ untuk $~n_1~,n_2$

ini bisa dilakukan dengan persamaan tersebut

$$n_1=\frac 12(x_1+x_2)$$ $$n_2=\frac 12(x_1-x_2)$$ $\Rightarrow~$ $$x_1=n_1+n_2$$ $$x_2=n_1-n_2$$

dengan transformasi ini Anda mendapatkan:

$$\ddot n_1+\frac km\,n_1=0\tag 5$$ $$\ddot n_2+\frac{3\,k}{m}\,n_2=0\tag 6$$

Ucapan:

Anda mendapatkan persamaan hasil yang sama $(~5~,6~)$jika Anda mendapatkan transformasi ini:

pusat koordinat massa untuk n_1:

$$n_1=\frac{m\,(x_1+x_2)}{2\,m}=\frac 12(x_1+x_2)$$ dan $$n_2=\frac 12(x_1-x_2)$$