Jacobian transformasi

Question

Dalam Analisis Data Bayesian , PDF tersedia secara gratis , bagian 4.1 (halaman 84, bawah) ada komentar yang mengatakan:

Jika kita malah membangun pendekatan normal dalam istilah $p(\mu, \sigma^2)$, matriks turunan kedua akan dikalikan dengan Jacobian dari transformasi dari $\log\sigma$ untuk $\sigma^2$ dan mode akan sedikit berubah, menjadi $\tilde{\sigma}^2 = \frac{n}{n+2}\hat{\sigma}^2$.

Pertanyaan saya adalah bagaimana kita menghitung dari Jacobian $\log\sigma$ untuk $\sigma^2$? Saya dapat membedakan satu fungsi dengan fungsi lainnya, tetapi saya tidak dapat menyesuaikan perubahan mode yang dinyatakan (yang membuat saya berpikir bahwa saya salah).

Terima kasih sebelumnya

Answer 1

Untuk transformasi parameter$$\eta\longmapsto\sigma^2=\exp\{2\eta\}$$yang Jacobian adalah $$\frac{\text d\sigma^2}{\text d\eta}=2\exp\{2\eta\}=2\sigma^2$$dan perubahan posterior dari $p(\mu,\eta)$ ke$$p^\prime(\mu,\sigma^2)=p(\mu,\log(\sigma^2)/2)\times \frac{\text d\eta}{\text d\sigma^2} = p(\mu,\log(\sigma^2)/2) \frac{1}{2\sigma^2}$$yang mengubah lokasi mode: $$\arg\max_{\mu,\sigma^2}p(\mu,\log(\sigma^2)/2)\ne \arg\max_{\mu,\sigma^2}p(\mu,\log(\sigma^2)/2)\frac{1}{2\sigma^2}$$ Yaitu, $$\hat\sigma^2 = \arg\max_{\sigma^2} \left\{-n\log \sigma-\frac{n \hat\sigma^2}{2\sigma^2}\right\}$$ melawan $${\tilde\sigma}^2 = \arg\max_{\sigma^2}\left\{-n\log \sigma-\frac{n \hat\sigma^2}{2\sigma^2}\underbrace{-\log \sigma^2}_{+\log \frac{\text d\eta}{\text d\sigma^2}}\right\}=\frac{n}{n+2}\hat\sigma^2$$