Jumlah angka segitiga

Question

Nah, bilangan segitiga dikenal $$1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, \cdots$$Saya mencari metode berbeda untuk mendapatkan jumlah dari angka-angka itu. Saya tahu kita bisa menulisnya seperti di bawah ini$$\displaystyle\sum\limits_{i=1}^n \displaystyle\sum\limits_{k=1}^i i\\= \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n \frac{i(i+1)}{2}=\\ \frac 12 \displaystyle\sum\limits_{i=1}^n (i+i^2)=\\ \frac12 (\frac{n(n+1)}{2}+\frac{n(n+1)(2n+1)}{6})=\\ \frac{n(n+1)(n+2)}3$$ Aku tahu kita bisa menunjukkannya $\mathit{mathematical} \space \mathscr{Induction}$, Tetapi apakah ada lebih banyak metode untuk menunjukkan fakta ini? Misalnya bukti tanpa sepatah kata pun, atau sesuatu yang lain. Terima kasih sebelumnya atas petunjuk, solusi, atau ide yang berbeda. Juga, saya mencari secara spesifik tentang solusi heuristik.

Answer 1

Menggunakan identitas tongkat hoki :$$\sum_{k=1}^n \frac{k(k+1)}{2}=\sum_{k=1}^{n} {k +1 \choose 2}=\sum_{k=2}^{n+1} {k \choose 2}={n+2 \choose 3}$$

Answer 2

Ada beberapa "Bukti Tanpa Kata" tentang ini dalam Bukti Tanpa Kata Nelson . Salah satunya adalah sebagai berikut:

Pertimbangkan segitiga

 1
 1 2
 1 2 3
 : ...
 1 2 3 ... n-1
 1 2 3 ... n-1 n

dan rotasinya

 1                      n
 2 1                    n-1 n-1 
 3 2 1                  n-2 n-2 n-2 
 : ...                  : ...
 n-1 n-2 ... 2 1        2 2 2 2 ... 2 2
 n  n-1 n-2 ... 2 1     1 1 1 1 ... 1 1 1

Menjumlahkan setiap entri dalam tiga segitiga yang kita peroleh:

n+2
n+2 n+2
n+2 n+2 n+2
: ...
n+2 n+2 n+2 ... n+2

Karena itu $T_n (n+2) = 3\sum T_n$.

Jadi $\sum T_n = \dfrac {n(n+1)(n+2)}6$.