Kelompok quaternions automorphism

Question

Membiarkan $\mathbb{H}$menjadi aljabar angka empat. Bagaimana membuktikan bahwa kelompok automorfisme$Aut(\mathbb{H})$ isomorfik ke grup $SO_3$?

Saya menemukan bahwa semua derivasi pada aljabar $\mathbb{H}$adalah batin. Selain itu, mereka isomorfik dengan aljabar Lie$so_3$. Masih harus dipahami apakah itu hanya terhubung atau tidak. Tapi saya tidak tahu bagaimana menunjukkan grup itu$Aut(\mathbb{H})$ tidak hanya terhubung.

Answer 1

Automorfisme $\alpha$ harus melestarikan $1$, jadi oleh $\mathbb{R}$-linier itu mempertahankan garis nyata.

Juga $\alpha$ harus mempertahankan himpunan akar kuadrat dari $-1$, yang merupakan bola satuan $S^2$, dan semua kelipatan riilnya, yang membentuk subruang imajiner murni $\mathbb{R}^3$ vektor 3D.

Jika $\mathbf{u}$ dan $\mathbf{v}$ adalah vektor, bagian nyata dari $\mathbf{uv}$ dikurangi produk titik, yaitu $-\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}$. Sejak$\alpha$ mempertahankan bagian nyata, artinya mempertahankan hasil kali titik, sehingga berfungsi sebagai isometri linier $\mathbb{R}^3$. Begitu$\alpha\in\mathrm{O}(3)$.

Begitu pula dengan bagian imajiner $\mathbf{uv}$ adalah produk silang $\mathbf{u}\times\mathbf{v}$. Lihat apakah Anda bisa menunjukkan$\alpha$ mempertahankan produk silang, dan ini selanjutnya akan berarti $\alpha\in\mathrm{SO}(3)$.

Sebaliknya, elemen apa pun dari $\mathrm{SO}(3)$mempertahankan perkalian titik dan perkalian silang, jadi pertahankan perkalian quaternion (yang dibangun dari perkalian tersebut). Karena$S^3\to\mathrm{SO}(3)$, ini berarti semua automorfisme $\mathbb{H}$ adalah batin.