Kepadatan probabilitas dari operator integral Hilbert-Schmidt

Question

Operator integral Hilbert-Schmidt menentukan ukuran yang mendasarinya, jika kernel universal digunakan. Sekarang, apakah nilai eigen operator integral Hilbert-Schmidt menentukan ukuran yang mendasari hingga translasi, refleksi dan rotasi?

Detail: Misalkan kita punya ukuran$\mu$ di ruang Euclidean $X=\mathbb R^n$ dan kernel $\kappa: X \times X \rightarrow \mathbb R$ (yang simetris dan setiap matriks Gram $G$ didefinisikan oleh $G_{i,j} = \kappa(x_i, x_j)$ dari satu set yang terbatas $\{x_1, \dots x_m\} \subset X$adalah semidefinite positif). Asumsikan bahwa$\kappa$ diberikan oleh fungsi jarak: $\kappa(x,y) = \kappa_0(\|x-y\|)$, sebagai contoh $\kappa(x,y) = e^{-\gamma \|x-y\|^2}$. Misalkan kita diberi kelas ukuran$\mathcal S$ di $X=\mathbb R^n$, misalnya yang disebabkan oleh fungsi kepadatan probabilitas kontinu yang terintegrasi ke 1.

Kami kemudian mendefinisikan operator integral Hilbert-Schmidt :$$K_{\mu}: \phi \mapsto \int_X \kappa(x,-) \phi(x) \text{d} \mu (x)$$Operatornya kompak dan self-adjoint, dan dengan demikian mengakui dekomposisi ortogonal dan nilai eigen nyata oleh teorema spektral. Mari kita definisikan vektor nilai eigennya dengan:$$\vec \lambda(\mu) = (\lambda_1, \lambda_2, \cdots) \text{ where } \lambda_i \phi_i = K_{\mu} \phi_i \text{ and } \lambda_1 \ge \lambda_2 \ge \cdots $$

Kami segera mengamati itu $\vec \lambda(\mu) = \vec \lambda (\rho \cdot \mu)$ dimana $\rho$ adalah isometri dari $X = \mathbb R^n$ dan $\rho \cdot \mu := \mu \circ \rho^{-1}$. Hal ini karena$\rho^{-1} \cdot K_{\rho \cdot \mu}(\rho \cdot \phi) = K_\mu(\phi)$ jika kita mendefinisikan $\rho \cdot \phi = \phi \circ \rho^{-1}$: $$\left( \rho^{-1} \cdot K_{\rho \cdot \mu}(\rho \cdot \phi)\right) (y) = \int_X \kappa(x, \rho y) \phi(\rho^{-1} x) d (\rho \cdot \mu)(x) \\ = \int_X \kappa(\rho x, \rho y) \phi(\rho^{-1} \rho x) d (\rho \cdot \mu)(\rho x) = K_\mu(\phi)(y)$$ yang seperti itu $$K_\mu \phi = \lambda \phi \implies K_{\rho \cdot \mu} (\rho \cdot \phi) = \rho \cdot (K_\mu \phi) = \rho \cdot (\lambda \phi) = \lambda (\rho \cdot \phi) $$ Pertanyaannya sekarang adalah apakah yang sebaliknya berlaku: apakah kita punya $\vec \lambda(\mu) = \vec \lambda(\nu) \implies \exists \rho: \mu = \rho \cdot \nu$?

Kernel $\kappa$ adalah karakteristik jika peta $\Phi: \mu \mapsto K_\mu(\textbf{1}) = \mathbb{E}_{x \sim \mu} [\kappa(x,-)]$bersifat suntik. Kernel Gaussian (atau RBF)$\kappa(x,y) = e^{-\gamma\|x-y\|^2}$adalah contoh kernel karakteristik. Jadi, petanya$\mu \mapsto K_\mu$lebih injektif. Oleh karena itu, operator integral Hilbert-Schmidt menentukan ukuran yang mendasarinya (tetapi tidak invarian sehubungan dengan isometri).

Pertanyaan saya kemudian menyangkut berapa banyak informasi yang dapat kami hapus dari operator sambil membedakan ukuran yang mendasari hingga isometri ruang Euclidean. Yaitu, dapatkah kita melakukannya tanpa vektor eigen?

Answer 1

...Apakah kita perlu $\vec \lambda(\mu) = \vec \lambda(\nu) \implies \exists > \rho: \mu = \rho \cdot \nu$?

Untuk ukuran yang merupakan jumlah cembung dari massa titik, jawabannya sepertinya ya,

Pertimbangkan kasus dimana $\mu = \delta_{x_0}$, arahkan massa ke $x_0$. Kemudian operator diberikan oleh$$ (K_{\delta_{x_0}} \phi)(y) = \kappa(x_0, y) \phi(x_0), $$ di mana kami membatasi $\phi \in C_c(\mathbb{R}^n)$ sehingga evaluasi yang tepat masuk akal kemudian diperluas ke $L^2$ dengan kepadatan $C_c(\mathbb{R}^n)$ di $L^2$.

Ternyata, $K_{\delta_{x_0}}$ adalah operator peringkat satu yang jangkauannya adalah rentang linier $\kappa(x_0, \cdot)$. Persamaan nilai eigen$$ \kappa(x_0, y) \phi(x_0) = \lambda \phi(y) $$ memberitahu kita itu $\lambda = \kappa(x_0, x_0) = 1$. Begitu$K_{\delta_{x_0}}$ adalah proyeksi peringkat satu ke rentang linier $\kappa(x_0, \cdot)$.

(Jika Anda membatasi pertanyaan pada massa poin, maka itu benar: $K_{\delta_{x_0}}$ dan $K_{\delta_{x_1}}$ memiliki spektrum yang sama $\{1,0,0,\cdots\}$, dan $\delta_{x_0}$ dapat dipetakan ke $\delta_{x_1}$ dengan terjemahan.)

Sekarang pertimbangkan jumlah cembung $\alpha \delta_{x_1} + (1-\alpha)\delta_{x_2}$, dimana $0 < \alpha < 1$. Menurut definisi,$$ K_{\alpha \delta_{x_1} + (1-\alpha)\delta_{x_2}} = \alpha K_{\delta_{x_1}} + (1- \alpha) K_{\delta_{x_2}}, $$yang merupakan jumlah dari dua proyeksi peringkat satu. Berikut ini, hal-hal tidak sebersih yang diharapkan, karena dua proyeksi peringkat satu dalam jumlah tersebut tidak bolak-balik --- tetapi kita tahu jumlahnya adalah operator self-adjoint peringkat dua. Secara khusus, ia memiliki dua nilai eigen bukan nol.

Persamaan nilai eigen $$ \alpha \kappa(x_1, y) \phi(x_1) + (1 -\alpha )\kappa(x_2, y) \phi(x_2) = \lambda \phi(y) $$ memiliki dua solusi bukan nol: \begin{align} \lambda_1 &= \alpha + (1-\alpha) \kappa(x_2, x_1) \frac{\phi(x_2)}{\phi(x_1)}, \\ \lambda_2 &= \alpha \kappa(x_2, x_1) \frac{\phi(x_1)}{\phi(x_2)} + (1-\alpha). \end{align} Memeriksa persamaan ini menunjukkan bahwa, untuk apa pun $\phi$ di ruang eigen yang sesuai dengan $\lambda_1$, $\frac{\phi(x_2)}{\phi(x_1)} = \kappa(x_2, x_1)$. Begitu pula untuk apapun$\phi$ di ruang eigen yang sesuai dengan $\lambda_2$, $\frac{\phi(x_1)}{\phi(x_2)} = \kappa(x_2, x_1)$. Jadi kami memiliki spektrum$K_{\alpha \delta_{x_0} + (1-\alpha)\delta_{x_1}}$: \begin{align} \lambda_1 &= \alpha + (1-\alpha) \kappa(x_2, x_1)^2, \\ \lambda_2 &= \alpha \kappa(x_2, x_1)^2 + (1-\alpha). \quad (*) \end{align}

Dengan kata lain, dua nilai eigen bukan nol adalah jumlah cembung dari $1$ dan $\kappa(x_2, x_1)^2$ dengan bobot $\alpha$ dan $1-\alpha$.

Membiarkan $(\lambda_1, \lambda_2)$ dan $(\lambda_1' = \lambda_2')$menjadi nilai eigen bukan nol dari operator HS sesuai dengan ukuran jenis di atas. Jika$\lambda_1 = \lambda_1'$ dan $\lambda_2 = \lambda_2'$, solusi eksplisit $(*)$ menyiratkan itu $$ \kappa(x_2, x_1) = \kappa(x_2', x_1'), \mbox{ and } \alpha = \alpha'. $$ Oleh karena itu ada pemetaan isometri $\alpha \delta_{x_1} + (1-\alpha)\delta_{x_2}$ untuk $\alpha' \delta_{x_1'} + (1-\alpha')\delta_{x_2'}$. Dugaan saya adalah bahwa argumen ini meluas ke jumlah umum massa titik cembung terbatas, yaitu ekspresi eksplisit dari nilai eigen harus mencirikan dukungan ukuran hingga isometri.

Untuk ukuran umum, saya tidak tahu, meskipun argumen di atas agak sugestif. Mungkin orang dapat menggunakan fakta bahwa jumlah massa titik cembung terbatas lemah- * padat dalam keluarga ukuran probabilitas Borel dan perkiraan.