Kurva di Sphere

Question

Membiarkan $\alpha:I\rightarrow\mathbb{R}^3$menjadi kurva biasa. Jika ada benarnya$P\in\mathbb{R}^3$ sedemikian rupa sehingga garis yang melewati $P$ dan $\alpha(t)$ tegak lurus dengan garis singgung di $\alpha$ dalam sekejap $t$ untuk apapun $t$, lalu jejak $\alpha$ terkandung dalam sebuah bola.

Sebagai $(P-\alpha(t))\cdot \alpha'(t)=0$ dan $((P-\alpha(t))\cdot (P-\alpha(t)))'=-2(P-\alpha(t))\cdot \alpha'(t)$, kemudian

$$|P-\alpha(t)|^2=\int((P-\alpha(t))\cdot (P-\alpha(t)))'dt=\int-2(P-\alpha(t))\cdot \alpha'(t)dt=\int0dt=c$$ untuk beberapa $c\geq0$.

Apakah itu benar? Bagaimana saya bisa menyelesaikannya tanpa mengintegrasikan?

Answer 1

Anda bahkan tidak perlu mengetahui konsep integrasi! Gunakan saja fakta itu$$\left(\bigl\|P-\alpha(t)\right\|^2\bigr)'=0$$untuk setiap $t$, Dari situ mengikuti itu $t\mapsto\|P-\alpha(t)\bigr\|$ konstan.