logaritma bilangan kompleks

Question

Umumnya untuk logaritma Jika saya punya $2^4=16$ maka artinya $\log_2(16)=4$ (Di sini 2 adalah basisnya)

Jadi nilai logaritma pada dasarnya memberi tahu kita berapa kali mengalikan basis untuk angka tersebut.

Ketika kita mengambil ln itu berarti basa adalah e

Sekarang mulailah pertanyaan saya

Berapa logaritma dari bilangan kompleks?

Saya pikir karena logaritma memberi tahu kita berapa kali mengalikan basis. Jika saya akan mengambil logaritma saya akan mendapatkan bilangan real Karena tidak peduli bilangan tersebut jika bilangan real dikalikan jawabannya adalah nyata.

Tapi buku yang saya katakan itu rumit, bahkan ada turunannya.

Dapatkah seseorang menjelaskan logaritma bilangan kompleks yang berkaitan dengan nyata atau setidaknya berbagi beberapa sumber?

Terima kasih

Answer 1

Perhatikan bahwa bilangan kompleks $z$ dapat ditulis sebagai $$z=|z|e^{i\theta}$$

Dimana $|x|$ Berarti modul $x$

Jadi logaritma dari $z$ akan menjadi

$$z=|z|e^{i\theta}\\ \log z=\log (|z|e^{i\theta})\\ \log z= \log{|z|+\log{e^{i\theta}}}\\ \log{z}=\log{|z|}+i\theta$$

Untuk perhitungan $|z|$kita hanya dapat menggunakan teorema pitagoras. Untuk perhitungan$\theta$ kita bisa menggunakan $\arctan \theta$karena kita tahu sisi yang berdekatan dan berlawanan. Perhatikan itu$\theta$ bukan hanya satu solusi, karena $\tan{(\theta+2\pi n)}= \tan{\theta}$, jadi kami benar-benar mendapatkan solusi cabang. Terlepas dari kenyataan ini, kami biasanya hanya menggunakan yang utama, yang merupakan milik himpunan$(-\pi,\pi]$