Mengidentifikasi groupoids Lie di antara groupoids halus

Question

Saya telah mendekati groupoids dalam kategori lipatan halus menggunakan metode dari teori aljabar dasarnya / sketsa batas. Adakah hasil yang mengidentifikasi groupoids Lie diantara groupoids internal dalam kategori lipatan halus (tanpa sepengetahuan sebelumnya$s,t: G \to M$ adalah perendaman).

Answer 1

Ini memalukan, saya menanyakan pertanyaan ini setelah menghabiskan akhir pekan memikirkannya sambil menatap definisi sepanjang hari dan dua jam kemudian saya memiliki jawaban parsial - sepertinya ini setara dengan membutuhkan proyeksi singgung $p: T\mathcal{G} \to \mathcal{G}$ menjadi bifibrasi.

1. Ingatlah teori fibrasi dan opfibrasi Grothendieck, untuk semua fungsi $q: \mathbb{C} \to \mathbb{D}$, jika $u:q^{-1}(A) \to q^{-1}(B)$ lebih $f: A \to B$ adalah isomorfisme, lalu $u$adalah kartesian dan cocartesian. Untuk fungsi antara groupoids, setiap peta adalah (co) cartesian di atas gambarnya.
2. Morfisme $f: M \to N$ lipatan halus adalah perendaman jika naturality persegi dengan proyeksi garis singgung $p: T \Rightarrow id$adalah kemunduran yang lemah. Jadi untuk apapun$(a,b):X \to M \times TN$ dimana $f(a) = p(b)$, di sana ada peta $c: X \to TM$ yang seperti itu $p(c) = a, Tf (c) = b$.

Sekarang, ingat groupoid halus kita $\mathcal{G}$semua kemundurannya dipertahankan oleh fungsi tangen. Ini berarti kami memiliki functor$p: T \mathcal{G} \to \mathcal{G}$. Kondisi bahwa target menjadi perendaman setara dengan meminta peta apa pun$a \xrightarrow{w} b$ dan vektor singgung $\gamma:TM$ yang seperti itu $p(\gamma) = b$, ada peta $\gamma' \xrightarrow{\omega} \gamma$ atas $w$. Karena$\omega$ adalah isomorfisme, itu akan menjadi peta kartesian, jadi ini setara dengan mensyaratkan itu $p$menjadi fibrasi. Garis penalaran serupa untuk peta sumber mengarah pada kesimpulan itu$p$juga merupakan opfibrasi. Jika$s,t$ keduanya adalah perendaman $p$ adalah bifibrasi.