Norma operator dari operator Hermitian

Aug 18 2020

Saya ingin membuktikan hasil berikut yang disebutkan dalam Sadri Hassani: -

Ketimpangan pertama, yaitu $|\langle Hx|x\rangle| \le ||H||\ ||x||^2 = ||H||$langsung dari definisi norma operator. Untuk ketimpangan terbalik, penulis menyebutkan prosedur berikut.

Saya tidak tahu bagaimana mereka mendapatkan ketidaksetaraan dengan menggunakan hasil di atas. Juga, saya pikir hasilnya untuk$4\langle Hx|y\rangle $ harus memiliki $-i$ dari pada $i$ dalam kesetaraan.

Jawaban

1 MartinArgerami Aug 19 2020 at 22:58

Dengan pilihan yang diberikan $x$ dan $y$, kamu punya itu $\langle Hx,y\rangle\in\mathbb R$, sehingga persamaan direduksi menjadi $$ 4\langle Hx,y\rangle=\big(\langle H(x+y),x+y)\rangle-\langle H(x-y),(x-y)\rangle\big). $$ Juga, $\|x\|=\|y\|=\|Hz\|^{1/2}\,\|z\|^{1/2}$. Kemudian, menggunakan identitas jajaran genjang,\begin{align} 4\|Hz\|^2&=4\langle Hx,y\rangle\\[0.3cm] &\leq M\|x+y\|^2+M\|x-y\|^2\\[0.3cm] &=2M(\|x\|^2+\|y\|^2)\\[0.3cm] &=4M\|Hz\|\,\|z\|. \end{align}