ODE dalam variabel $r$

Question

Saya yakin ini adalah pertanyaan sederhana tetapi saya membutuhkan bantuan.

Saat mencoba menyelesaikan PDE menggunakan pemisahan variabel, saya menemukan ODE.

Saya ingin menyelesaikan ODE berikut: $$\frac{R''(r)+\frac{2}{r}R'(r)}{R(r)}=-\lambda^2$$

Solusinya adalah $A\cos(\lambda r)/r +B\sin(\lambda r)/2\lambda r$

Ia memeriksa ketika Anda mencolokkannya tetapi bagaimana kita benar-benar mendapatkan solusinya?

Answer 1

$$\frac{R''(r)+\frac{2}{r}R'(r)}{R(r)}=-\lambda^2$$ $$r{R''(r)+{2}R'(r)}=-rR(r)\lambda^2$$ Tulis ulang sebagai: $$(rR(r))''=-rR(r)\lambda^2$$ $$(rR(r))''+rR(r)\lambda^2=0$$ Sekarang selesaikan saja sebagai: $$y''+\lambda^2y=0$$ Dimana $y=rR(r)$. Ini hanyalah persamaan diferensial linier orde dua yang mudah dipecahkan.