Operator Integral kompak?

Question

Saya telah menemukan operator linier yang menarik. Saya tidak yakin apakah itu kompak:$$ T: L^2([0, 1]) \rightarrow L^2([0, 1]), \quad (Tf)(x) := \int^1_0 (x-y)^2 f(y)~\mathrm{d}y. $$

Saya mencoba menggunakan argumen berikut: Biarkan $(f_k)_{k \in \mathbb{N}} \subseteq L^2([0, 1])$ dibatasi dan biarkan $(f_{n_k})_{k \in \mathbb{N}} \subseteq L^2([0, 1])$ menjadi penerus dengan batas lemah $f \in L^2([0, 1])$. Kemudian:$$ \lVert Tf_{n_k} - Tf \rVert_{L^2([0, 1])}^2 = \int_0^1 \left \lvert \int^1_0 (x-y)^2 (f_{n_k}(y) - f(y))~\mathrm{d}y \right \rvert^2 ~\mathrm{d}x \leq \sup_{x \in [0, 1]} \left \lvert \int^1_0 (x-y)^2 (f_{n_k}(y) - f(y))~\mathrm{d}y \right \rvert^2 $$ Saya masih bisa membuktikan bahwa ini $\sup$ dicapai pada beberapa $x_{n_k} \in [0, 1]$ tapi ini tidak membantu saya karena ketergantungan pada $n_k$. Jika tidak, saya akan menggunakan konvergensi lemah pada saat itu.

Apakah ada cara yang lebih mudah atau ini bahkan operator yang kompak?

Answer 1

Ini adalah operator peringkat terbatas dan dengan demikian kompak: $$(Tf)(x)=A\,x^2-B\,x+C,$$ dimana $A=\int^1_0f(y)\,dy, B=2\int^1_0y\,f(y)\,dy, C=\int^1_0y^2\,f(y)\,dy$, jadi gambar dari himpunan terbatas adalah himpunan bagian berbatas dari subruang 3 dimensi dari $L^2([0, 1])$.

Answer 2

Jika $k(x,y)=a(x)b(y)$, dimana $a$ dan $b$ adalah fungsi berkelanjutan $[0,1]$, kemudian $$ \int_0^1 k(x,y) f(x)\, dx = \left(\int_0^1 a(x) f(x)\, dx\right) b(y) = \langle a,f\rangle b(y). $$ Oleh karena itu operator integral $T_k$, diberikan oleh kernel integral $k$, memuaskan $T_k(f) = \langle a,f\rangle b$, dan, sebagai konsekuensinya, $T_k$dianggap sebagai operator peringkat satu. Jika sebaliknya,$$ k(x,y)=\sum_{i=1}^na_i(x)b_i(y), \tag{1} $$ dimana $a_i$ dan $b_i$ adalah fungsi berkelanjutan lagi $[0,1]$, operator integral yang sesuai memenuhi $$ T_k(f) = \sum_{i=1}^n \langle a_i,f\rangle b_i, \quad \forall f\in L^2[0,1], $$ jadi pangkatnya $T_k$ paling banyak $n$, karenanya terbatas.

Jika selanjutnya kita mengasumsikan itu $k$ adalah batas fungsi yang seragam $k_n$ dari bentuk (1), tidak sulit untuk melihatnya $T_{k_n}\to T_k$, dalam norma operator, jadi $T_k$ adalah operator kompak karena ini adalah batas dari operator peringkat terbatas.

Teorema Stone-Weierstrass dapat dengan mudah digunakan untuk menunjukkan subset dari $C([0,1]\times[0,1])$ dibentuk oleh semua fungsi bentuk (1) padat, sehingga kesimpulan ayat di atas berlaku untuk kontinyu $k$. Ini membuktikan:

Teorema . Setiap operator integral aktif$L^2[0,1]$ dengan kernel integral kontinu kompak.