Operator matriks simetris

Question

Membiarkan $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ menjadi matriks simetris dengan nilai eigen $\lambda_1\geq \lambda_2\geq\cdots\geq\lambda_n$ dan dekomposisi spektral yang diberikan oleh $$ A = PDP^{\top}, $$ dimana $D = \text{diag}(\lambda_1,...,\lambda_n)$ dan $P$ bersifat ortogonal.

Membiarkan $\mathcal{S}\subset\mathbb{R}$ menjadi set seperti itu $\lambda_i\in\mathcal{S}$ untuk semua $i$, dan tentukan beberapa fungsi $f:\mathcal{S}\to\mathbb{R}$.

Kami mendefinisikan matriks $f(A)$ sebagai $$ f(A) = Pf(D)P^{\top}, $$ dimana $$ f(D) = \text{diag}(f(\lambda_1),...,f(\lambda_n)). $$

Aku s $f(A)$ didefinisikan dengan baik?

Maksud saya, dekomposisi spektral $A = PDP^{\top}$ tidak unik karena mungkin saja ada $i,j$ st $\lambda_i=\lambda_j$, yang memprovokasi itu $P$ tidak unik.

Semua wawasan akan dihargai!

Answer 1

Ini didefinisikan dengan baik. Alasannya adalah itu$f(D)$ dapat dinyatakan sebagai polinomial dalam $D$ (yang derajat dan koefisiennya bergantung $f$ dan $D$), yang membuat $f(A)$ diekspresikan sebagai polinomial dalam $A$. Faktanya, jika$\mu_1,\mu_2,\ldots,\mu_m$adalah nilai eigen yang berbeda dari$A$ dan $g$ adalah polinomial interpolasi Lagrange $$ g(x)=\sum_{i=1}^m\prod_{j\ne i}\frac{x-\mu_j}{\mu_i-\mu_j}f(\mu_i), $$ kemudian $g(\mu_i)=f(\mu_i)$ untuk setiap $i$. (Dalam kasus sudut di mana$A=\mu I$, kami definisikan $g$ sebagai polinomial konstan $f(\mu)$.) Karenanya $g(\lambda_i)=f(\lambda_i)$ untuk setiap $i$ (karena masing-masing $\lambda_i$ adalah beberapa $\mu_k$), $f(D)=g(D)$ dan $Pf(D)P^T=Pg(D)P^T=g(PDP^T)=g(A)$. Sejak$g$hanya bergantung pada himpunan banyak nilai eigen yang tidak berurutan dari$A$ tapi tidak $P$ atau di urutan $\lambda_i$s di diagonal $D$, produk $Pf(D)P^T$ selalu mengevaluasi ke nilai yang sama, yaitu $g(A)$, terlepas dari dekomposisi spektral yang dilakukan.

Answer 2

Karena $P^\perp P=I$, $$ A^2 = (PDP^\perp)^2=PDP^{\perp}PDP^{\perp}=PD^2P^\perp \\ A^n = PD^nP,\;\;\; n=1,2,3,\cdots. $$ Menetapkan $P^0=I$. Lalu jika$p$ adalah polinomial, $$ p(A)=Pp(D)P^\perp. $$ Untuk matriks diagonal $D$ dengan diagonal $d_1,d_2,\cdots,d_N$, definisi ini $p(D)$ memberikan matriks diagonal dengan diagonal $p(d_1),p(d_2),\cdots,p(d_N)$. Hal ini konsisten dengan evaluasi standar polinomial dengan matriks$A$. Dan Anda bisa melihatnya$(pq)(A)=p(A)q(A)$ sebagai contoh.