Pada 1D Quantum Mechanics Harmonic Oscillator

Question

Saya sedang menyelesaikan P. 2.41 dari Griffiths 'Pengantar Mekanika Kuantum.

Tidak ada yang benar-benar baru sampai saya membaca solusi yang diusulkan (dari Griffiths sendiri) untuk masalah yang menyatakan bahwa saya dapat menulis suatu fungsi $\Psi$ yang merupakan kombinasi linier dari tiga status pertama $\Psi_0$, $\Psi_1$ dan $\Psi_2$ sebagai

$$\Psi(x,t) = \sum\limits_{n=0}^2 c_n \Psi_n e^{-iwt(n+1/2)}$$

Dimana $c_n$dan $\Psi_n$dikenal.

Pertanyaan : Mengapa saya bisa mewakili$\Psi$ fungsi gelombang pada osilator harmonik seperti ini?

Answer 1

Status eigen $\Psi_n$ dari Harmonic Oscillator adalah polinomial Hermite (dengan bobot Gaussian) yang membentuk himpunan lengkap, sehingga Anda dapat menulis status awal apa pun $$\Psi(x,0) = \sum_{n=0}^\infty c_n \Psi_n(x),$$ dan selesaikan untuk $c_n$s. Setelah Anda melakukan ini, Anda hanya perlu menyesuaikan ketergantungan waktu untuk setiap eigenstate (dari formulir$e^{-iE_n/\hbar t }$) yang memberi Anda solusi lengkap.

Pertanyaan yang menarik adalah mengapa kita tidak membutuhkan lebih dari tiga $\Psi_n$s untuk benar-benar menulis $\Psi(x,0)$. Alasannya adalah karena$\Psi(x,0)$ mengandung polinomial derajat 2. Seperti yang Anda lihat, tidak ada pangkat $x$ lebih besar dari $x^2$ada di dalamnya. Akibatnya, harus dapat diekspresikan sebagai kombinasi linier dari semua polinomial Hermite dengan derajat hingga 2, yaitu$\Psi_0(x), \Psi_1(x)$, dan $\Psi_2(x)$!

(Ini sangat mirip dengan mengatakan bahwa polinomial derajat $m$ dapat diekspresikan sebagai jumlah linier dari semua $x^n$, dimana $n=0,\dots m $.)