Pasangan L-tromino!

Question

Amy bermain dengan polyomino yang berbeda. Dia tiba-tiba memikirkan suatu masalah sebagai berikut.

Pilih dua bilangan bulat positif $m,n$. Jika kita hanya dapat menggunakan L-tromino untuk tessellate a$m\times n$ persegi panjang tanpa celah, tumpang tindih, atau persegi apa pun yang menggantung persegi panjang, lalu kita sebut pasangan $(m,n)$ Pasangan L-tromino.

Dia memanggil kakaknya Ben, dan jin , dan mencoba mencari tahu semua pasangan L-tromino. Jin itu super pintar dan menemukan semuanya dengan bukti. Bisakah kamu?

---

Masalah sendiri.

---

Berikut gambar L-tromino, jika anda ingin melihatnya:

Answer 1

Jelas kedua dimensi persegi panjang yang dapat di-tile harus setidaknya $2$. Juga, karena luas tromino adalah$3$, luas persegi panjang yang dapat di-tile adalah kelipatan dari $3$, dan karenanya setidaknya salah satu dimensi merupakan kelipatan 3.

Pertama, beberapa kasus mudah:

$3k\times2n$: Dua tromino membentuk a $3\times2$empat persegi panjang. Oleh karena itu apapun$3k\times2n$ persegi panjang dapat disusun dengan mudah.

$6k\times(2n+3)$: Persegi panjang ini terbagi menjadi a $6k\times3$ dan a $6k\times2n$ persegi panjang, keduanya adalah contoh kasus yang dapat di-tile di atas.

Kasus paling rumit adalah ini:

Kasus di atas berhubungan dengan semua persegi panjang yang salah satu dimensinya genap. Jadi sekarang yang tersisa hanya mereka yang berdimensi aneh.

$9\times5$: Persegi panjang ini bisa diberi ubin:

$(6k+9) \times (2n+5)$: Persegi panjang apa pun dengan dimensi ganjil, satu dimensi kelipatan 3, dan tidak lebih kecil dari $9\times5$, bisa berubin. Anda dapat membentuk persegi panjang dengan ukuran$6k\times(2n+5)$ yang telah terbukti dapat dibentuk ubin untuk menguranginya menjadi $9\times(2n+5)$. Anda kemudian dapat membuat persegi panjang yang dapat dibentuk ubin$9\times2n$, meninggalkan ubin $9\times5$.

Sekarang tinggal ditunjukkan itu$3\times(2n+1)$tidak dapat dibentuk ubin. Ini cukup jelas saat Anda mencobanya. Satu-satunya cara untuk mengisi tepi pendek persegi panjang akan membuat file$3\times2$blok. Oleh karena itu, persegi panjang tersebut secara tidak terhindarkan menjadi tidak dapat diperbaiki$3\times1$bentuk.

Singkatnya, pasangan L-tromino adalah$(m,n)$ dimana $m,n\ge2$, setidaknya satu dari $m$ atau $n$ habis dibagi 3, dan jika keduanya ganjil $m,n\ge5$.