Peringkat Cantor-Bendixson tipe terisolasi

Question

Ini adalah lemma 2.2.3 (i) dalam buku S.Buechler's Essential Stability Theory . Membiarkan$T$menjadi teori yang lengkap. Kami mendefinisikan peringkat Cantor-Bendixson dari sebuah formula$\phi$ di $n$ variabel sebagai berikut.

1. $CB(\phi)=-1$ jika $\phi$ tidak konsisten;
2. Membiarkan $\alpha$ menjadi ordinal, dan $\Psi_{\alpha}= \{\psi: CB(\psi)=\beta \mbox{ for some } \beta < \alpha \}$. $CB(\phi)=\alpha$ jika $\{p\in S_n(\emptyset) : \phi \in p \mbox{ and } \neg \psi \in p \mbox{ for all } \psi \in \Psi_{\alpha} \}$ tidak kosong dan terbatas.

Membiarkan $p$ menjadi terisolasi sepenuhnya $n$-Tipe. Lalu kita tahu itu$p$ diisolasi oleh rumus $\phi'$dari definisi isolasi. Pertanyaanku adalah

Mengapa $CB(\phi')=0$ ?

Tampaknya kita harus menunjukkan bahwa hanya ada banyak tipe $p \in S_n(\emptyset)$ yang $\phi' \in p$ dan $\neg \psi \in p$ untuk semua $\psi \in \Psi_0$. Tapi saya tidak tahu bagaimana membuktikannya. Setiap petunjuk dan saran disambut baik. Terima kasih!

Answer 1

Pertama mari kita buktikan ini langsung dari definisi yang Anda sebutkan. Rumus dalam$\Psi_0$adalah rumus yang persis tidak konsisten. Jadi untuk tipe apapun$q$ dan apapun $\psi \in \Psi_0$ kita punya $\neg \psi \in q$. Itu artinya$$ \{q \in S_n(\emptyset) : \phi' \in q \text{ and } \neg \psi \in q \text{ for all } \psi \in \Psi_0\} = \{q \in S_n(\emptyset) : \phi' \in q\} = \{p\}, $$ dimana persamaan terakhir mengikuti karena $\phi'$ mengisolasi $p$. Memang benar$CB(\phi') = 0$.

---

Peringkat Cantor-Bendixson juga sering didefinisikan dengan cara topologis sebagai berikut. Untuk referensi, lihat misalnya Kursus dalam Teori Model oleh Tent dan Ziegler, latihan 6.2.6, atau Teori Model: Pengenalan oleh Penanda, latihan 6.6.19g (meskipun ada kesalahan ketik di sana, yang harus jelas dari definisi di bawah) .

Untuk ruang topologi $X$ kami mendefinisikan $X^{(\alpha)}$ untuk ordinal $\alpha$ sebagai berikut:

1. $X^{(0)} = X$,
2. $X^{(\alpha+1)} = X^{(\alpha)} - \{x \in X^{(\alpha)} : x \text{ is an isolated point in } X^{(\alpha)}\}$,
3. $X^{(\lambda)} = \bigcap_{\alpha < \lambda} X^{(\alpha)}$ untuk batas $\lambda$.

Kami memanggil $X^{(\alpha)}$ itu $\alpha$-Derivatif Cantor-Bendixson dari$X$. Untuk satu poin$x \in X$peringkat Cantor-Bendixson $CB(x)$ kemudian menjadi maksimal $\alpha$ seperti yang $x \in X^{(\alpha)}$.

Menerapkan ini ke $X = S_n(\emptyset)$ kita bisa memahami Cantor-Bendixson sebagai formula $\phi$ dengan pengaturan $$ CB(\phi) = \sup \{CB(p) : \phi \in p \in S_n(\emptyset)\}. $$Akan menjadi latihan yang baik untuk menunjukkan bahwa definisi ini setara (meskipun itu akan menjadi latihan yang lebih sulit daripada yang Anda tanyakan). Dengan definisi ini juga akan dengan mudah mengikuti itu$CB(\phi') = 0$ jika $\phi'$ mengisolasi suatu tipe.