Persamaan Burger dengan Rarefaction

Question

Masalah. Misalkan kita punya

$$u_t + uu_x = 0, ~~~~~~~~u(x,0) = \begin{cases} x + 1, & x < 0, \\ x + 2, & x > 0. \end{cases} $$

Apa yang saya miliki: Kami memiliki solusi yang biasa dengan metode karakteristik untuk memulai:$u(x,t) = \phi(x - ut)$, dan karakteristik

$$ x = \phi(r)t + r, ~~~~~~~~z = \phi(r).$$

Menggunakan data awal kita mendapatkan solusi implisit berikut $$ u(x,t) = \begin{cases} \frac{x + 1}{1 + t}, &x < t \tag{1} \\ \frac{x + 2}{1 + t}, &x > 2t. \end{cases} $$

Kita dapat memplot karakteristik dengan lebih mudah menggunakan parameterisasi dengan $r$ seperti yang $$x(t,r) = \begin{cases} (r + 1)t + r, &r < 0 \\ (r + 2)t + r, &r > 0, \\ \end{cases} $$

Oleh karena itu, kami memiliki wilayah dimana tidak ada karakteristik yang meniru dari asalnya (0,0).

Untuk ini, saya ingat bahwa solusi penghalusan diberikan sebagai $u(x,t) = f\left(\frac{x-r}{t}\right)$, untuk beberapa $f$. Oleh karena itu, kami punya$$\begin{align} u_t &= f'\left(\frac{x - r}{t}\right)\left(\frac{r - x}{t^2}\right) \\ u_x &= f'\left(\frac{x - r}{t}\right)\left(\frac{1}{t}\right), \end{align} $$

dan kita perlu menemukannya $f$ itu memuaskan $$ f'\left(\frac{x - r}{t}\right)\left(\frac{r - x}{t^2}\right) + f\left(\frac{x-r}{t}\right)f'\left(\frac{x - r}{t}\right)\left(\frac{1}{t}\right) = 0. \tag{2}$$

Begitu, $f\left(\frac{x-r}{t}\right) = \frac{x - r}{t}$, dan $(2)$ puas.

Saya tidak yakin bagaimana melanjutkan dari sini?

Answer 1

Masalah nilai awal Cauchy ini telah meningkatkan data awal linier sedikit demi sedikit, dengan diskontinuitas lompatan pada $x=0$. Ini bukan masalah Riemann, karena data awal tidak konstan sebagian. Metode karakteristik menghasilkan persamaan implisit$u = \phi(x-ut)$ dengan $\phi = u(\cdot,0)$. Jadi, \ begin {persamaan} u = \ left \ lbrace\begin{aligned} &x-ut+1, \quad x-ut<0 \\ &x-ut+2, \quad x-ut>0 \end{aligned}\right. \quad = \quad\left\lbrace\begin{aligned} &\tfrac{x+1}{1+t}, \quad x<t ,\\ &\tfrac{x+2}{1+t}, \quad x>2t . \end{aligned}\Baik. \ end {persamaan} Jadi tidak ada kurva karakteristik antara$x=t$ dan $x=2t$. Data di$x>2t$ bergerak lebih cepat daripada data di $x<t$. Gelombang penghalusan dimulai dari asalnya$(x,t) = (0,0)$dihasilkan di antara garis-garis itu. Bentuknya diatur oleh$u = x/t$, dan kita memiliki \ begin {persamaan} u (x, t) = \ left \ lbrace\begin{aligned} &\tfrac{x+1}{1+t}, && x<t ,\\ &\tfrac{x}{t} , && t<x<2t , \\ &\tfrac{x+2}{1+t}, && x>2t . \end{aligned}\Baik. \ end {persamaan} Perhatikan bahwa penyelesaiannya terus menerus untuk waktu positif$t>0$.