Pertanyaan tentang Vector Space dan Sub space

Question

Membiarkan $A = \{(x, y, z, w) \in \mathbb F^4 | x - 3y + w = -7\}$. Aku s$A$ruang vektor? Apakah itu subruang?

Saya hanya ingin memastikan apakah saya melakukannya dengan benar atau tidak.

Untuk $A$ untuk menjadi ruang vektor, ia harus memenuhi penjumlahan properti penutupan wrt.

Membiarkan $a_1 = (x_1, y_1, z_1, w_1)$ dan $a_2 = (x_2, y_2, z_2, w_2)$.

$$\tag{1} x_1 - 3y_1 + w_1 = -7,$$

$$\tag{2}x_2 - 3y_2 + w_2 = -7,$$

$$a_1 + a_2 = (x_1 + x_2, y_1 + y_2, z_1 + z_2, w_1 + w_2)$$

$$a_1 + a_2 = (x_1 + x_2) - 3 ( y_1 + y_2) + (w_1 + w_2) = -7$$

$a_1 + a_2$ adalah elemen dari $A$. Menambahkan (1) dan (2) kita dapatkan,

$$(x_1 + x_2) - 3(y_1 + y_2) + (w_1 + w_2) = -14.$$

$a_1 + a_2$ bukan merupakan elemen dari $A$. Karenanya$A$ bukan ruang vektor dan bukan subruang.

Apakah tepat?

Answer 1

Tidak, Anda tidak melakukannya dengan benar. Pekerjaan Anda tidak selalu salah, tetapi Anda telah melewatkan inti dari latihan tersebut.

Himpunan yang diberikan tidak mengandung elemen $(0,0,0,0)$. Oleh karena itu, ini bukan subruang dari$\mathbb{F}^4$. Ini bahkan bukan ruang vektor jika kita mempertimbangkan perkalian skalar bijak dan penambahan vektor.

Anda sepertinya melewatkan beberapa langkah penting. Untuk memeriksa apakah sesuatu adalah ruang vektor, Anda perlu memeriksa sejumlah besar aksioma yang berbeda (8 aksioma berbeda, bergantung pada buku yang Anda pelajari). Untuk memeriksa apakah sesuatu adalah subruang dari ruang vektor tertentu, Anda hanya perlu memeriksa apakah itu memenuhi penutupan di bawah kedua operasi dan berisi identitas aditif ruang vektor. Anda harus meninjau definisi ini sebelum mengerjakan lebih banyak masalah.

Answer 2

Setiap Subruang Vektor harus berisi tempat asal. Garis dan bidang yang melewati subruang vektor bentuk asal.