Pole zero plot dari band reject filter
Berikut adalah filter penolakan pita dengan fungsi transfer dan plot pertanda. Saya tidak mengerti bagaimana frekuensi kutub dan frekuensi nol digambar pada plot pertanda. Bahkan dengan frekuensi kutub dan nol yang diberikan, matematika dalam fungsi transfer tidak terbukti benar.
Menurut definisi, kutub adalah saat penyebutnya nol dan fungsi transfer mendekati tak terhingga, dan nol adalah saat pembilangnya nol di mana fungsinya mendekati nol. Jadi untuk menentukan frekuensi kutub, saya mengatur penyebutnya menjadi 0:
\$ 2\big(1+{\tau s \over 0.44}\big)\big(1+{\tau s \over 4.56}\big) = (2.0064-\tau^2\omega) + (5\tau \omega \hat j)\$ = 0
dimana braket pertama adalah nyata dan braket lainnya adalah imajiner. Tidak ada satu frekuensi pun yang dapat membuat bagian nyata dan imajiner dari aljabar menjadi nol!
Buku itu memberikan frekuensi tiang di \$ 0.44 \over \tau \$dan \$ 4.56 \over \tau \$. Jika saya memilih \$ 0.44 \over \tau \$dan hubungkan ke penyebutnya, lalu apa yang ada di dalam tanda kurung \$ \big( 1+ {\tau s \over 0.44} \big) \$hanya akan \$ (1+1\hat j) \$, bukan nol juga.
Dan untuk nol, jika saya mencolokkan \$ \omega = {1 \over \tau} \$kepada nominator, saya akan mendapatkan \$ (1+\hat j)(1+ \hat j) = 2 \hat j\$ dan itu juga tidak menggunakan fungsi transfer mendekati nol.
Jadi bagaimana caranya \$ 0.44 \over \tau \$dan \$ 4.56 \over \tau \$keluar menjadi frekuensi kutub, dan mengapa \$ 1 \over \tau \$frekuensi nol? Tak satu pun dari frekuensi ini mengambil fungsi transfer hingga tak terbatas atau nol.
Jawaban
Mungkin di sinilah kebingungan dimulai: 's' adalah kompleks (re + j * im, atau sigma + jw), bukan hanya imajiner. Kedua istilah itu sering digunakan secara tidak sengaja secara bergantian, dan seharusnya tidak demikian.
G juga kompleks, ia memiliki fasa dan besaran untuk setiap w. Dapat ditulis sebagai fase & magnitudo atau nyata & imajiner. Konversi antara keduanya hanyalah soal matematika, bukan desain sirkuit.
Kebingungan khas lainnya adalah menyamakan frekuensi kutub dengan frekuensi cut off. Di bagian urutan pertama, di mana Anda memiliki dua, mereka tidak sama, bahkan tidak dekat.
Di beberapa sirkuit, mereka bisa dekat, seperti dalam fungsi transfer orde dua Q tinggi dengan pasangan kompleks konjugasi. Itu hewan yang berbeda, karena melibatkan induktor atau op-amp dengan umpan balik negatif.
Seperti yang Anda catat, ada dua kutub dalam fungsi transfer, dan kutubnya negatif dan nyata pada s = -1 / a. Kita katakan itu di bagian kiri dari tempat s, karena kiri / kanan dari tempat asal adalah -Re / + Re, dan di atas / di bawah tempat asal adalah + Im / -Im.
Dua kutub dalam contoh Anda adalah, seperti yang Anda catat, nyata, misalnya s = -1 / a dan s = -1 / b. Sebuah tiang adalah s = sigma + jw. Karena nyata, frekuensi kutub adalah w = 0. Ini tidak berarti bahwa knee dalam bode plot berada pada DC, atau bahwa fungsi transfer menuju tak terhingga pada w = 0.
Tidak ada w yang penyebutnya sama dengan nol. Untuk mendapatkan TF sebagai filter sinusoid, Anda mengganti s = jw dan plot | G (s) |. Dalam skala log-f / dB Anda akan melihat lutut.
Lihat plot ini untuk fungsi transfer low pass :
Apa yang Anda lihat adalah besarnya fungsi transfer, | G (s) | dalam dB, untuk kutub tunggal pada s = -1.
Ini digambarkan sebagai plot permukaan 3D (atau kabel), karena G (s) memiliki argumen 2 dimensi: bagian nyata dari s (sigma), dan bagian imajiner dari s (omega, atau 2 pi f):
- Garis merah menunjukkan plot Bode | G (f) |, diperoleh dengan mengatur s = jw di G (s). Perhatikan lutut di sekitar f = 1.
- Garis hijau adalah G (s) diplot sepanjang sigma = -1. Ketika mendekati kutub pada f = 0 ia terus mendaki pada kemiringan dB / log (f) yang konstan. Karena sumbu horizontal adalah log (f) tentunya plot tidak akan pernah mencapai f = 0 dimana | G | = inf.
Lutut di garis merah disebut cut-off. Ini BUKAN dimana tiang berada . Kutub berada pada w = 0 di sepanjang garis hijau. Letak lutut tergantung pada jarak tiang dari s = 0. Keduanya terkait: lutut ditentukan oleh sigma tiang, tetapi tiang itu sendiri tidak berada di lutut.
Jika semua kutub berada di setengah bidang kiri, Anda bisa mendapatkan transformasi Fourier dengan menyetel s = jw, dan itu memberi Anda fungsi transfer G (w) (atau G (f)) yang sudah dikenal. Seringkali G (s) diberikan, dan G (w) diplot.
G (w) tidak identik dengan G, tetapi dalam kasus desain analog praktis, seperti dalam kasus Anda, ini sama; bukan sekedar kira-kira atau secara praktis, tetapi juga secara teori.
Berikut adalah contoh plot bagus lainnya dari G (s) dengan kompleks s, dan ini termasuk plot untuk G (jw). Ini bukan kasus Anda, tetapi ini menunjukkan bagaimana kutub pada bidang-s memengaruhi fungsi transfer sepanjang jw.
Perhatikan "tiang tenda sirkus" di sigma <0. Di situlah tanggapannya tidak terbatas. Tapi di sepanjang garis merah s = wj, itu adalah pukulan tinggi yang sudah dikenal. Saat Anda memindahkan kutub lebih dekat ke sumbu jw, yaitu saat Anda memindahkan sigma lebih dekat ke 0, kutub akan menjadi lebih jelas. Dalam banyak desain filter (Bessel, Chebyshev ...), banyak kutub ditempatkan dengan hati-hati pada berbagai jarak dari sumbu jw dan pada frekuensi yang berbeda-beda, untuk mendapatkan respons datar keseluruhan dan atenuasi yang dalam.
Dan sekarang akhirnya menjadi pertanyaan Anda
Jadi bagaimana 0.44 / τ dan 4.56 / 𝜏 menjadi frekuensi kutub, dan mengapa 1 / 𝜏 adalah frekuensi nol? Tak satu pun dari frekuensi ini mengambil fungsi transfer hingga tak terbatas atau nol.
Jawaban: frekuensi kutub bukanlah lokasi kutub. Lokasi kutub memiliki frekuensi (koordinat sepanjang sumbu jw) dan jarak dari sumbu jw. Jarak sigma itu menentukan seberapa besar fungsi transfer G (jw) dipengaruhi oleh tiang dan dimana lutut akan terjadi.
Selanjutnya, untuk menggunakan G (jw), sinyal input dan output harus direpresentasikan sebagai sinyal kompleks, dan begitulah cara Anda melihat redaman serta fase. Seringkali respon terhadap masalah sinusoid stasioner, dalam hal ini s = jw tanpa sigma untuk sinyal masukan. Ini adalah bagaimana transformasi Fourier diperoleh dari transformasi Laplace.
Jika yang Anda inginkan hanyalah atenuasi, maka cukuplah untuk mengubah G (jw) (kompleks) menjadi | G (jw) | (magnitudo), yang akan memberikan plot amplitudo. Matematika tercakup dalam banyak sumber daya hebat lainnya, tetapi saya akan menyebutkan bahwa | G | adalah akar persegi (re (G) ** 2 + im (G) ** 2), dan Anda dapat melihatnya sebagai bilangan real.
Berikut contoh fungsi transfer kutub tunggal:
Seperti yang Anda lihat, "kutub" tidak berarti "tak terhingga" dalam fungsi transfer untuk s = jw, yaitu untuk sinusoid stasioner.
Kalkulator di: http://sim.okawa-denshi.jp/en/dtool.php
Data yang dimasukkan:
Plot 3D kutub tunggal dari https://www.mathworks.com/matlabcentral/mlc-downloads/downloads/submissions/56879/versions/7/screenshot.PNG
Sedikit bantuan: -
Jika penyebut TF adalah ini: \$(1 + as)(1 + bs)\$
Kemudian \$(1 + as)\$sama dengan nol bila \$s = -\dfrac{1}{a}\$
Dan \$(1 + bs)\$sama dengan nol bila \$s = -\dfrac{1}{b}\$
Jika salah satu bagian sama dengan nol, itu membuat seluruh fungsi transfer dibagi dengan nol sehingga kutubnya adalah ketika s adalah salah satu dari nilai di atas.
Saya dapat melihat Anda berjuang dengan ini jadi inilah tampilan 3D contoh posisi tiang bersama dengan plot pertanda (pada sumbu jw): -
Perhatikan bahwa TF Anda akan menghasilkan dua kutub di sepanjang \$\sigma\$ sumbu pada nilai negatif.
Di Wikipedia, Anda dapat melihat plot di seluruh bidang kompleks. Khususnya, untuk filter elips / Cauer , ini menunjukkan bagaimana kutub (bintik putih) berada di sekitar \$j\omega\$sumbu, sedangkan nol (bintik hitam) berada di \$j\omega\$sumbu. The \$j\omega\$ baris adalah baris yang menentukan respons filter.
Jika Anda menghitung, Anda akan melihat bahwa kutub dan nol dievaluasi untuk fungsi transfer matematika, seperti dalam \$s=\alpha+j\omega\$, yang berarti Anda menyelesaikan fungsi transfer di seluruh domain Laplace. Inilah sebabnya mengapa Anda mendapatkan bagian nyata dan imajiner untuk kutub dan nol (jika memungkinkan).
Dan saat Anda mengevaluasi fungsi transfer, Anda mengevaluasi respons frekuensi hanya pada sumbu imajiner, jadi \$j\omega\$.
Ada video bagus di sini yang menjelaskan dengan sangat baik (juga dengan gambar dan visualisasi yang cantik). Ini benar-benar tentang perbedaan antara transformasi Fourier - yang diterapkan untuk mengevaluasi respons frekuensi - dan transformasi Laplace - yang diterapkan untuk mengevaluasi fungsi transfer.
Mungkin tidak diminta tetapi filter 2 kapasitor itu tidak dapat mematikan frekuensi. Anda dapat mencapai beberapa atenuasi pada beberapa rentang frekuensi tetapi pada frekuensi apa pun outputnya nol. Itu karena dengan 2 kapasitor Anda tidak bisa masuk ke rangkaian RC pasif begitu banyak pergeseran fasa sehingga terjadi pembatalan penuh pada beberapa frekuensi bukan nol.
Orang lain telah mencoba menjelaskan hal-hal matematika seperti tidak ada frekuensi yang akan membuat fungsi transfer menjadi nol atau tak terbatas. Saya sarankan Anda mencoba filter yang lebih rumit yang dapat mematikan satu frekuensi. Ini dikenal sebagai "Twin T Notch Filter". Lihat contoh kalkulator ini:http://sim.okawa-denshi.jp/en/TwinTCRkeisan.htm
Sayangnya fungsi transfer begitu kompleks sehingga redaman manual dan perhitungan pergeseran fasa membutuhkan keterampilan yang sangat baik.
Filter pasif yang lebih sederhana yang secara teoritis (= dengan bagian yang ideal) dapat mematikan frekuensi membutuhkan kapasitor dan induktor. Satu contoh:
Ini sangat sederhana sehingga seorang pemula dapat segera menyelesaikan rangkaian dengan persamaan dan menemukan kutub dan nol. Ada nol di sumbu imajiner dan itu membuat keluaran nol pada frekuensi itu.
Ini adalah pertanyaan berulang, "mengapa saya tidak bisa melihat besarnya menjadi tak terbatas dengan kutub dan keluaran nol dengan nol"? Jika kita mengambil contoh nol, Anda pasti bisa pergi ke lab dan membuat \$RC\$Filter menampilkan tiang dan nol seperti di bawah ini. Tetapi jika Anda menggairahkan jaringan ini pada frekuensi yang disetel pada frekuensi nol, masih ada sinyal yang dapat diamati sebagai respons :
Alasannya karena nol terletak di \$\omega_z=\frac{1}{r_CC_1}\$sebenarnya adalah modulus dari akar negatif \$s_z=-\frac{1}{r_CC_1}\$. Ketika Anda menggairahkan jaringan dengan bentuk gelombang sinusoidal, Anda melakukan analisis harmonik yang setara dengan menjelajahi sumbu imajiner saja yang secara alami mengecualikan bagian negatif di mana root \$s_z\$terletak. Oleh karena itu, dengan eksitasi sinusoidal, stimulus Anda tidak dapat menghasilkan frekuensi yang dijelaskan oleh \$-\frac{1}{r_CC_1}\$.
Ada kasus-kasus khusus ketika akarnya secara alami terletak di sumbu imajiner. Memiliki kapasitor blok dc menempatkan nol di asalnya, yang berarti ada root untuk \$s=0\$. Atur stimulus ke frekuensi 0-Hz - tegangan dc - dan Anda akan mengamati 0 V sebagai respons:
Untuk nol, jika Anda membangun tinggi- \$Q\$notch, artinya redamannya hampir tidak ada, maka angka nol terletak pada sumbu vertikal \$s=j\omega\$dan stimulus sinusoidal Anda yang disetel dengan benar akan menutupi angka nol ini. Dalam hal ini, responsnya benar-benar nol seperti yang ditunjukkan di bawah ini:
Anda dapat memperluas pendekatan ini ke kutub misalnya: membangun integrator di sekitar op-amp yang memiliki tiang di titik asal dan jika Anda mencondongkan masukan dengan frekuensi 0-Hz yang sama dan nilai yang sangat kecil, Anda akan mengamati sangat besar nilai dibatasi oleh gain loop terbuka op-amp dan kemudian dijepit oleh pagar op-amp. Sama dengan undamped \$LC\$ filter: kutub-kutubnya hampir menjadi khayalan murni (asumsikan induktor dengan kerugian resistif dan magnetis yang sangat kecil dan tutup. dengan resistansi seri ekivalen yang dapat diabaikan) dan stimulus kecil yang disetel pada frekuensi kutub ganda akan menghasilkan tegangan yang sangat tinggi.
Menggunakan teknik ini adalah dasar dari teknik sirkuit analitik cepat atau FAKTA yang dijelaskan dalam seminar APEC yang saya ajarkan pada tahun 2016.