Presentasi subkelompok

Question

Membiarkan $G$ jadilah grup dengan presentasi $$G = \langle \sigma_1 ,\sigma _2 , \sigma _3\, |\, \sigma _1^2=\sigma _2^2=\sigma _3^2=(\sigma _1\sigma _2)^p =(\sigma _2\sigma _3)^q =(\sigma _3\sigma _1)^r =1\rangle .$$ Saya ingin presentasi untuk subkelompok $H$ dihasilkan oleh elemen $\tau _1=\sigma _1\sigma _2,\, \tau _2=\sigma _2\sigma _3,\ \tau _3=\sigma _3\sigma _1$.

Apakah cukup untuk menebak presentasi $$ H=\langle \tau _1,\tau _2 ,\tau _3\, |\, \tau _1^p=\tau _2^q=\tau _3^r=\tau _1\tau _2\tau _3 =1 \rangle$$ dan berpendapat bahwa hubungan dalam presentasi $G$ secara jelas menyiratkan dugaan untuk $H$ dan bahwa hubungan $H$ menyiratkan hubungan dalam penyajian $G$.

Answer 1

Tidak, ini tidak cukup, karena mungkin ada hubungan "tersembunyi". Dalam contoh Anda,$H$ memang memiliki presentasi yang diberikan, dan mungkin saja untuk menunjukkan ini "dengan tangan" menggunakan properti grup $G$, tetapi itu tidak "jelas" benar.

Alternatifnya, Anda dapat menggunakan metode Reidemeister-Schreier. Ini adalah proses untuk menemukan presentasi dari subkelompok tertentu dari suatu kelompok, dan bekerja dengan baik di sini karena$H$ memiliki indeks terbatas dalam $G$. Ada dua pendekatan untuk metode ini: versi kombinatorial / aljabar klasik seperti yang dibahas dalam Bagian 2.3 buku Teori kelompok kombinatorial oleh Magnus, Karrass dan Solitar, atau di Bagian II.4 dari buku Lyndon dan Schupp dengan nama yang sama, dan versi topologi menggunakan sampul kompleks presentasi (lihat di sini ). Secara pribadi, saya menyukai versi topologi, karena saya melihatnya sebagai "visualisasi" dari versi aljabar.

Prosesnya juga bisa dilakukan di komputer (lihat di sini ), meskipun komputer mau$p,q,r$ untuk diperbaiki.