Representasi matriks dari $\mathfrak{su}(1,1)$ $K$ operator

Question

Saya mencoba menemukan representasi matriks dari $\mathfrak{su}(1,1)$ $K_{-}$, $K_{+}$ dan $K_0$ matriks yang biasa digunakan dalam optik kuantum didefinisikan sebagai $$K_{-}=\frac{1}{2}\hat{a}\hat{a},\quad K_{+}=\frac{1}{2}\hat{a}^{\dagger}\hat{a}^{\dagger}\quad K_{0}=\frac{1}{4}(\hat{a}\hat{a}^{\dagger}+\hat{a}^{\dagger}\hat{a}).$$Secara khusus, saya ingin mengetahui representasi matriks 3x3 mereka. Mufti, Schmitt dan Sargent III memberikan representasi matriks 2x2 (dan juga representasi matriks 4x4) yang memenuhi relasi pergantian$$[K_{+},K_{-}]=-2K_0,\quad[K_0,K_{\pm}]=\pm K_{\pm}.$$ Namun, mereka tidak memberikan rincian tentang bagaimana mereka menurunkan matriks tersebut.

Saya akan berterima kasih jika seseorang dapat memberikan saya turunan dari matriks ini atau hanya menyatakan hasil untuk kasus 3x3.

Answer 1

Mereka memberitahumu $K_-=-J_-$. Apakah Anda mengutak-atik$$ K_+= \sqrt{2} \begin{bmatrix} 0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}; \\ K_-= -\sqrt{2} \begin{bmatrix} 0&0&0\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}; \\ K_0= \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{bmatrix} ? \\ $$