ruang yang sangat normal

Question

Jika $X$ adalah ruang topologi Hausdorff, kami menyebutnya demikian $X$ adalah normal jika, untuk setiap set tertutup $A$, ada fungsi yang berkelanjutan $f_A:X\rightarrow[0,1]$ seperti yang $f_A^{-1}(0)=A$.

Buktikan bahwa ruangan yang sangat normal adalah normal.

Usaha saya: Misalkan $A$ dan $B$adalah dua set tertutup terputus-putus. Menetapkan$g=\frac{f_A}{f_A+f_B}$. $g(x)=0$ jika dan hanya jika $x\in A$, dan $g(x)=1$ jika dan hanya jika $x\in B$.

Selama saya bisa membuktikan $g:X\rightarrow [0,1]$terus menerus, saya selesai. Tapi saya tidak tahu bagaimana menunjukkannya terus menerus.

Answer 1

Cara lain adalah dengan melihat peta Anda $g$ sebagai komposisi berikut

$g=G\circ (f_A,f_B)$ dimana

$(f_A,f_B): X\to [0,1]\times [0,1]$

dan

$G: E\subseteq [0,1]\times [0,1]\to [0,1]$

dimana $E=\{(x,y): x\neq 0 \textit{ or } y\neq 0\}$

Dan petanya adalah $G(x,y):= \frac{x}{x+y}$

itulah kontinu di domainnya. Peta ini adalah lanjutan dari alasan yang sama dengan Kavi Rama Murthy.

Answer 2

$f_A(x)+f_B(x) \geq 0$ dan $f_A(x)+f_B(x) = 0$ jika dan hanya jika $f_A(x)=f_B(x)=0$ jika dan hanya jika $x \in A$ dan $x\in B$yang tidak mungkin. Karenanya$g$adalah rasio dua fungsi kontinu yang penyebutnya tidak akan pernah hilang. Ini menyiratkan itu$g$ terus menerus.