Seri pecahan rasional

Question

Saya membaca di Gradshteyn I, Ryzhik I Tabel Integral, Seri, dan Produk (7Ed, Elsevier, 2007) (Isbn 0123736374) (1220S) seri berikut $$-\frac{x}{x-1}=\sum _{k=0}^{\infty } -\frac{x^{2^k}}{x^{2^{k+1}}-1}=\sum _{k=1}^{\infty } \frac{2^k x^{2^k-1}}{x^{2^k-1}+1}$$ seri $$\frac{2^k x^{2^k}}{x^{2^k}+1}$$ mudah menghitung dengan menggunakan seri positif trik Van Wijngaarden di seri alternatif tetapi ketika datang dari seri kedua ??

Answer 1

Kami menunjukkan yang berikut ini berlaku untuk | x | <1: \begin{align*} \frac{x}{1-x}&=\sum_{k=0}^\infty\frac{2^kx^{2^{k}}}{1+x^{2^{k}}}\tag{1}\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{2^{k}}}{1-x^{2^{k+1}}}\tag{2}\\ \end{align*}

Sejak kita punya \begin{align*} \frac{2^{k+1}x^{2^{k+1}}}{1-x^{2^{k+1}}}=\frac{2^kx^{2^k}}{1-x^{2^k}}-\frac{2^kx^{2^k}}{1+x^{2^k}} \end{align*}

kita dapatkan dengan teleskop \ begin {align *} \ color {blue} {\ sum_ {k = 0} ^ \ infty} & \ color {blue} {\ frac {2 ^ kx ^ {2 ^ k}} {1+ x ^ {2 ^ k}}} \\ & = \ lim_ {N \ hingga \ infty} \ sum_ {k = 0} ^ N \ frac {2 ^ kx ^ {2 ^ {k}}} {1 + x ^ {2 ^ {k}}} \\ & = \ lim_ {N \ ke \ infty} \ kiri (\ sum_ {k = 0} ^ N \ frac {2 ^ kx ^ {2 ^ {k}}} { 1-x ^ {2 ^ {k}}} - \ sum_ {k = 0} ^ N \ frac {2 ^ {k + 1} x ^ {2 ^ {k + 1}}} {1-x ^ { 2 ^ {k + 1}}} \ kanan) \\ & = \ lim_ {N \ ke \ infty} \ kiri (\ sum_ {k = 0} ^ N \ frac {2 ^ kx ^ {2 ^ {k} }} {1-x ^ {2 ^ {k}}} - \ sum_ {k = 1} ^ {N + 1} \ frac {2 ^ kx ^ {2 ^ {k}}} {1-x ^ { 2 ^ {k}}} \ kanan) \\ & = \ lim_ {N \ ke \ infty} \ kiri (\ frac {x} {1-x} - \ frac {2 ^ {N + 1} x ^ { 2 ^ {N + 1}}} {1-x ^ {2 ^ {N + 1}}} \ kanan) \ tag {$2^{N+1}x^{2^{N+1}}\to0$} \\ & \, \, \ color {blue} {= \ frac {x} {1-x}} \ end {align *} dan klaim (1) mengikuti.

Sejak kita punya \begin{align*} \frac{x^{2^{k}}}{1-x^{2^{k+1}}}&=\frac{\left(1+x^{2^{k}}\right)-1}{1-x^{2^{k+1}}}=\frac{1}{1-x^{2^{k}}}-\frac{1}{1-x^{2^{k+1}}} \end{align*}

kita dapatkan lagi dengan teleskop \ begin {align *} \ color {blue} {\ sum_ {k = 0} ^ \ infty} & \ color {blue} {\ frac {x ^ {2 ^ k}} {1 + x ^ {2 ^ {k + 1}}}} \\ & = \ lim_ {N \ to \ infty} \ sum_ {k = 0} ^ N \ frac {x ^ {2 ^ {k}}} {1+ x ^ {2 ^ {k + 1}}} \\ & = \ lim_ {N \ ke \ infty} \ kiri (\ sum_ {k = 0} ^ N \ frac {1} {1-x ^ {2 ^ {k}}} - \ sum_ {k = 0} ^ N \ frac {1} {1-x ^ {2 ^ {k + 1}}} \ kanan) \\ & = \ lim_ {N \ hingga \ infty } \ kiri (\ sum_ {k = 0} ^ N \ frac {1} {1-x ^ {2 ^ {k}}} - \ sum_ {k = 1} ^ {N + 1} \ frac {1} {1-x ^ {2 ^ {k}}} \ kanan) \\ & = \ lim_ {N \ ke \ infty} \ kiri (\ frac {1} {1-x} - \ frac {1} {1 -x ^ {2 ^ {N + 1}}} \ kanan) \ tag {$x^{2^{N+1}}\to0$} \\ & = \ frac {1} {1-x} -1 \\ & \, \, \ color {blue} {= \ frac {x} {1-x}} \ end {align *} dan klaim (2) berikut.

Catatan: Kami menemukan dalam edisi 07 Tabel integral, seri, dan produk dengan rumus IS Gradshteyn dan IM Ryzhik 1.121 (1.):\begin{align*} \frac{x}{1-x}=\sum_{k=1}^\infty\frac{2^{k-1}x^{2^{k-1}}}{1+x^{2^{k-1}}}=\sum_{k=1}^\infty\frac{x^{2^{k-1}}}{1-x^{2^{k}}}\qquad\qquad[x^2<1] \end{align*}