Solusi integer untuk $x^2-2y^2=10$

Question

Buktikan tidak ada solusi integer $(x,y)$ untuk persamaan $x^2-2y^2=10$.

Ini sepertinya pertanyaan dasar dan saya memiliki beberapa teknik dalam pikiran saya. Saya mencoba melihat persamaan modulo 2 hingga 13 dan menunjukkan tidak ada solusi tetapi tidak ada yang berhasil. Saya juga mencoba menurunkan kontradiksi dengan melihat paritas$x$ dan $y$tapi aku juga tidak berhasil. Apakah ada teori yang saya tidak tahu tentang yang akan membantu (ini sangat mirip persamaan pell) atau mungkin saya membuat kesalahan dalam upaya saya? Terima kasih untuk bantuannya!

Answer 1

Mod argumen $5$, seperti yang diberikan oleh orang lain, mungkin adalah cara termudah untuk pergi, tetapi berikut hanya bukti paritas bahwa tidak ada solusi.

Jika $x^2-2y^2=10$, itu jelas $x$ harus seimbang, dan mudah dilihat $y$pasti aneh. Penulisan$x=2u$ dan $y=2v+1$, persamaannya menjadi $4u^2-2(2v+1)^2=10$, yang disederhanakan menjadi

$$u^2-2v(v+1)=3$$

Kami sekarang melihat itu $u$pasti aneh. Penulisan$u=2w+1$, persamaan tersebut sekarang disederhanakan menjadi

$$2w(w+1)-v(v+1)=1$$

Tapi $v(v+1)$ harus genap, jadi persamaan terakhir ini tidak memiliki solusi.

Catatan: Mengetahui hal itu $v(v+1)$ bahkan, salah satu mungkin juga pergi dari $u^2-2v(v+1)=3$ untuk $u^2\equiv3$ mod $4$ dan mengutip fakta itu $3$ bukan mod persegi $4$; pendekatan hanya paritas yang diambil di sini pada dasarnya adalah bukti fakta itu.

Answer 2

Catat itu $x = 2k$(jika tidak, LHS akan menjadi ganjil). Karenanya Anda memiliki:$4k^2 - 2y^2 = 10$, sekarang ini sama dengan $2k^2 - y^2 = 5$

Pertimbangkan persamaan modulo ini $5$. $2k^2 $memberi Anda pengingat yang sama dengan $\{0,2,3\}$, dan $y^2$ Memberi anda $\{0,1,4\}$.

Seharusnya begitu $5|k,y$. Sekarang hampir selesai.

Answer 3

Jika Anda mempertimbangkan persamaan modulo $5$, Anda mendapatkan $x^2 = 2 y ^2$, dari situ Anda bisa menyimpulkan $5 | x, 5 | y$(jika Anda belum melakukannya, Anda mungkin ingin memeriksa perhitungan Anda). Ini sangat cantik karena tidak melibatkan banyak kasus. Jadi kemungkinan besar kita berada di jalur yang benar. Sekarang Anda dapat mengatur$x' = x/5, y'=y/5$, dan Anda mendapatkan $5(x')^2 - 10(y')^2 = 2$. Pertimbangkan persamaan modulo 5 lagi.

Atau, sebagai alternatif, pertimbangkan persamaan modulo 25, ini menyelesaikan masalah secara instan.