Tentang ketidaksetaraan Samuelson

Question

Jika kita memiliki satu set $n$ bilangan real: $$\Omega=x_1,x_2,x_3,..,x_n$$ mean aritmatika adalah: $$A=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i$$ dan deviasi standar: $$S=\sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-A)^2}$$ Jika set $n$ angka dibatasi sehingga: $$m\le x_i\le M$$ Perbaikan dari ketimpangan Samuelson yang dibuktikan oleh Bhatia dan Davies adalah: $$S^2\le (M-A)(A-m)$$Pertanyaan saya adalah: kapan kesetaraan berlaku? Apakah kesetaraan berlaku untuk semua jenis distribusi angka dalam$\Omega?$

Answer 1

Untuk apapun $i$ kami melihat itu $S^2$ adalah fungsi cembung dari $x_i$, yang mengatakan: $$\max_{m\leq x\leq M}S^2=\max_{x_i\in\{m,M\}}S^2.$$ Id est, kesetaraan terjadi $x_1=x_2=...=x_k=m$ dan $x_{k+1}=...=x_n=M.$

Sekarang, kita perlu memilih nilai $k$, yang akan kami dapatkan nilai maksimalnya.

Saya harap ini akan membantu.