Teorema Bipolar

Question

Saya terjebak dengan masalah berikut saat melalui bukti Lemma$1.9$(i) dari buku 'Lectures on von Neumann Algebras' oleh Strătil dan Zsidó.

Membiarkan$\mathscr{B}$menjadi ruang Banach dan$\mathscr{B}^*$menjadi ganda$\mathscr{B}$. Membiarkan$\mathscr{B}_*\subseteq \mathscr{B}^*$menjadi subruang vektor tertutup norma sehingga$\mathscr{B}=(\mathscr{B}_*)^*$(yaitu isometrik isomorfik) melalui bentuk bilinear kanonik di$\mathscr{B}\times \mathscr{B}_*$. Pertimbangkan$\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$-topologi aktif$\mathscr{B}$yang didefinisikan oleh keluarga semi-norma$\{p_{\varphi}:\varphi\in \mathscr{B}_*\}$, di mana$p_{\varphi}(x):=|\varphi (x)|$untuk$x\in \mathscr{B}$. Membiarkan$\mathscr{M}\subseteq \mathscr{B}$jadilah$\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$-subruang vektor tertutup.

Masalah: Jika$\mathscr{M}^{\circ}:=\{\varphi \in \mathscr{B}_*;\varphi |_{\mathscr{M}}=0\}$, maka buktikan bahwa$\mathscr{M}=\{x\in\mathscr{B};\varphi (x)=0 \text{ for any } \varphi\in\mathscr{M}^{\circ}\}$.

Penulis memanggil$\mathscr{M}^{\circ}$kutub dari$\mathscr{M}$dan kemudian mengatakan bahwa kesimpulan mengikuti dari teorema bipolar. Tetapi saya tidak menemukan referensi untuk 'teorema bipolar' itu. Jadi bisakah seseorang membantu saya dengan referensi yang tepat untuk 'teorema bipolar' itu bersama dengan solusinya. Terima kasih sebelumnya.

Answer 1

Membiarkan$$ \mathscr{M}^{oo}=\{x\in\mathscr{B};\varphi (x)=0 \text{ for any } \varphi\in\mathscr{M}^{\circ}\}. $$Kita punya$\mathscr M\subset \mathscr M^{oo}$menurut definisi dari$\mathscr M^o$. Misalkan ada$z\in \mathscr M^{oo}\setminus \mathscr M$. Sebagai$\mathscr M$cembung dan$\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$-Tutup, oleh Hahn-Banach ada$\varphi$, linier dan$\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$-terus menerus, dengan$\varphi(z)=1$dan$\varphi|_{\mathscr M}=0$. Itu$\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$-fungsional kontinu pada dual dari ruang kompak lokal adalah tepat pada fungsi predual (lihat, misalnya, Teorema V.1.3 dalam Kursus Conway dalam Analisis Fungsional ); jadi$\varphi\in\mathscr B_*$. Kemudian$\varphi\in\mathscr M^o$; sebagai$z\in\mathscr M^{oo}$, kita akan memiliki$\varphi(z)=0$, sebuah kontradiksi. Jadi$\mathscr M^{oo}=\mathscr M$.