Teorema dekomposisi spektral

Question

Saya meninjau teorema dekomposisi spektral. Jika$Y$ adalah matriks simetris $Y$ dapat diuraikan sebagai $Y=Q\Lambda Q'$, dengan kolom $Q$ adalah vektor eigen dari $Y$ dan $\Lambda$ adalah matriks diagonal dengan diagonal tersusun dari nilai-nilai eigen $Y$.

Dari beberapa bagian teorema ini dapat disimpulkan bahwa $Q$yang dimaksud dengan matriks ortogonal? Saya tahu bahwa vektor eigen dari$Y$ bersifat ortogonal, sehingga dapat disimpulkan bahwa matriks tersebut $Q$ itu ortogonal?

Answer 1

Anda harus mengambil vektor Eigen dengan norma sama dengan satu, Anda akan menemukannya $QQ^{\top}=\large𝟙$.

Answer 2

Dalam ekspresimu, $Y=Q\Lambda Q'$ dan baris $Q$ adalah vektor eigen dari $Y$.

Di dalam, $Y=Q'\Lambda Q$ dan kolom $Q$ adalah vektor eigen dari $Y$.

Kita tahu dalam matriks simetris, vektor eigen yang berhubungan dengan nilai eigen berbeda selalu ortogonal. Jika$\bf x$ dan $\bf y$ adalah vektor eigen yang sesuai dengan nilai eigen yang berbeda $\lambda$ dan $\alpha$ masing-masing, lalu $$\langle Y{\bf x},{\bf y}\rangle=\langle{\bf x},Y{\bf y}\rangle\implies\langle\lambda{\bf x},{\bf y}\rangle=\langle{\bf x},\alpha{\bf y}\rangle\implies(\lambda-\alpha)\langle{\bf x},{\bf y}\rangle=0\implies\langle{\bf x},{\bf y}\rangle=0$$ sejak $\lambda-\alpha\neq 0$.

Sekarang temukan basis ortonormal untuk setiap ruang eigen yang membentuk himpunan semua vektor eigen $Y$ pengaturan orthonormal $\mathbb{R}^n$ (karena ruang eigen yang berbeda bersifat ortogonal satu sama lain).