Transformasi akar polinomial

Question

Misalkan ada polinomial kubik di x dengan akar A, B, C dan polinomial kubik lainnya (dalam t) dengan akar
1 / (A-1), 1 / (B-1), 1 / (C-1)

dapat ditemukan.

Buku teks saya menyebutkan dua cara untuk melakukan ini. Salah satunya adalah dengan menggunakan relasi vieta, yang memakan waktu. Cara lain yang disebutkan adalah dengan membiarkan t = 1 / (x-1), buat x subjeknya, lalu gantikan dan sederhanakan. Namun, saya tidak bisa benar-benar memikirkan hal ini. Hanya karena ini adalah hubungan antara akar bukan berarti bahwa semua nilai x dan t berada dalam hubungan itu, bukan?

Selain itu, jika saya mencoba metode ini dengan lebih umum yaitu mencoba mencari polinomial dengan akar f (A), f (B), f (C) di mana f (u) adalah beberapa fungsi yang dapat dibalik seperti e ^ u, tampaknya gagal .

Bisakah seseorang menjelaskan metode yang tepat untuk menangani pertanyaan semacam itu.

Answer 1

Misalkan Anda memiliki polinomial kubik $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ yang mana Anda memiliki tiga akar nyata atau kompleks $x_1, x_2, x_3$, lalu Anda bisa mengatakannya $P(x_i) = ax_i^3 + bx_i^2 + cx_i + d = 0$ untuk $i = 1,2,3$.

Sekarang katakanlah Anda ingin membuat persamaan polinomial baru yang memiliki akar $y_1, y_2, y_3$ dimana $y_i = \frac 1{x_i-1}$ (bergantung pada asumsi tidak ada akar yang asli $1$, tentu saja), maka seperti yang dikatakan referensi Anda, Anda dapat mengubah topik pembicaraan ke $x_i$, yaitu $x_i = 1 + \frac 1{y_i}$dan gantikan ke persamaan aslinya. Kamu tahu itu$P(x_i) = 0$, jadi itu menyiratkan itu $P(1+\frac 1{y_i}) = 0$juga. Dengan manipulasi, Anda dapat menunjukkan bahwa persamaan baru ini adalah kubik$Q(y_i) = 0$. Dengan pemetaan eksplisit yang telah Anda dapatkan, masing-masing dari ketiga akar tersebut$y_i$ kubik baru ini akan sesuai dengan masing-masing dari tiga akar $x_i$ dari kubik asli.

Tentu saja, metode ini akan bekerja untuk setiap transformasi yang dapat dibalik selama Anda berhati-hati tentang domain dan pertimbangan keberadaan, tetapi Anda mungkin tidak mendapatkan persamaan polinomial setelah transformasi (seperti dalam kasus Anda dengan fungsi eksponensial).

Answer 2

Membiarkan $A$, $B$ dan $C$ menjadi akar polinomial $x^3+ax^2+bx+c.$

Jadi, $$A+B+C=-a,$$ $$AB+AC+BC=b,$$ $$ABC=-c$$ dan kami memperoleh: $$\sum_{cyc}\frac{1}{A-1}=\frac{\sum\limits_{cyc}(A-1)(B-1)}{\prod\limits_{cyc}(A-1)}=\frac{b+2a+3}{-c-b-a-1},$$ yang memberikan koefisien sebelumnya $x^2$ dalam polinomial baru: $$\frac{2a+b+3}{a+b+c+1}.$$ Juga, $$\sum_{cyc}\frac{1}{(A-1)(B-1)}=\frac{\sum\limits_{cyc}(A-1)}{\prod\limits_{cyc}(A-1)}=\frac{-a-3}{-a-b-c-1}=\frac{a+3}{a+b+c+1}$$ dan $$\prod_{cyc}\frac{1}{A-1}=\frac{1}{-a-b-c-1}$$ dan kami mendapat jawabannya: $$x^3+\frac{2a+b+3}{a+b+c+1}x^2+\frac{a+3}{a+b+c+1}x+\frac{1}{a+b+c+1}.$$ Kami menggunakan teorema Viete dan ini adalah metode yang tepat untuk memecahkan masalah Anda.

Selain itu, Anda dapat melihat bahwa dengan menggunakan penjumlahan siklik ternyata cukup mudah.

Saya pikir metode kedua membutuhkan lebih banyak waktu.

Membiarkan $x=\frac{1}{y-1}$, dimana $y$ adalah akar jika polinomial $x^3+ax^2+bx+c.$

Jadi, sejak $y=\frac{x+1}{x},$ kami mendapatkan: $$\left(\frac{x+1}{x}\right)^3+a\left(\frac{x+1}{x}\right)^2+b\left(\frac{x+1}{x}\right)+c,$$ yang memberikan hasil yang sama, tetapi dengan lebih banyak perhitungan.