Transformasi integral berkurang?

Question

Saya menemukan bahwa integral berikut sama:

$$ \int_0^1sx^{s-1}\exp\bigg(\frac{t}{\log(x)}\bigg)~dx=\int_0^1\exp\bigg(\frac{st}{\log(x)}\bigg)~dx $$

Membiarkan $f^s(x)=x^s,$ maka LHS dapat ditulis sebagai $$ \int_0^1\frac{d}{dx}\bigg(x^s\bigg)\exp\bigg(\frac{t}{\log(x)}\bigg)~dx$$

Ini mengingatkan saya pada transformasi Mellin pada dukungan terbatas.

Apakah RHS semacam transformasi Mellin yang tersamar?

Sepertinya begitu. Artinya untuk konstanta$r>0$ integral berikut ini merepresentasikan transformasi Mellin di mana satu-satunya objek di integrand adalah kernel:

$$ \int_0^1 \exp\bigg(\frac{r}{\log(x)}\bigg)~dx $$

Jadi untuk kernel khusus ini, menurut saya transformasi Mellin hanya dapat ditulis menggunakan kernel itu sendiri.

Apakah itu benar?

Answer 1

Untuk $s > 0$, dengan asumsi itu menyatu secara mutlak pada beberapa interval $(a,b)$

$$\int_0^\infty x^{s-1}f(x)dx=\int_0^\infty x^{s-1}f(e^{\log x})dx=\frac1s \int_{0}^\infty f(e^{\frac1s \log t})dt\tag{1}$$

Jadi ya, RHS adalah transformasi Mellin dan Laplace yang menyamar.

Lebih menyenangkan ketika bertanya (dengan kelanjutan analitik) yang mana $f$ dan dalam arti (fungsional analitik) kesetaraan tetap berlaku $\Re(s)\in (a,b)$ kompleks.