Turunan dari Bessel $K$

Question

Saya tertarik dengan turunan pertama Bessel $K$berfungsi sehubungan dengan parameternya. Saya akan menggunakan notasi berikut;$K^{(1,0)}(n,z):= \frac{\partial}{\partial \nu} K_\nu(z) \bigg|_{\nu = n}$

Saya telah melihat beberapa ekspresi berbeda untuk $K^{(1,0)}$, misalnya di sini: https://functions.wolfram.com/Bessel-TypeFunctions/BesselK/20/01/01/

Bagi saya, ekspresinya tampak cukup galak; melibatkan jumlah tak terbatas atas sekumpulan fungsi gamma dan fungsi digamma dll. Saya tidak punya banyak pengalaman memanipulasi jenis seri ini.

Namun ungkapan ini baik untuk umum $n\in \mathbb{Z}$ atau $n \notin \mathbb{Z}$, dan saat ini saya hanya tertarik pada $K^{(1,0)}(\frac{1}{2},z)$. saya tahu itu$K_{\frac{1}{2}}(z)$ menyederhanakan secara signifikan dibandingkan dengan umum $K_\nu(z)$, jadi saya merasa mungkin ada harapan itu $K^{(1,0)}(\frac{1}{2},z)$ bisa juga menyederhanakan dibandingkan $K^{(1,0)}(n,z)$.

Apakah ada yang tahu apakah mungkin memberikan ekspresi yang disederhanakan untuk turunannya $K^{(1,0)}(\frac{1}{2},z)$ dari Bessel $K$ fungsi?

Answer 1

Turunan ini ditabulasikan secara eksplisit ( DLMF ) \ begin {persamaan} \ kiri. \ Frac {\ sebagian K _ {\ nu} \ kiri (x \ kanan)} {\ sebagian \ nu} \ kanan | _ {\ nu = \ frac {1} {2}} = \ sqrt {\ frac {\ pi} {2x}} E_ {1} \ left (2x \ right) e ^ {x} \ end {persamaan} di mana \ begin {persamaan} E_ { 1} \ left (z \ right) = \ int_ {z} ^ {\ infty} \ frac {e ^ {- t}} {t} \ mathrm {d} t \ end {persamaan} adalah integral eksponensial.