Untuk menemukan polinomial

Question

Keraguan saya berasal dari kertas model PRMO yang saya miliki hari ini. Gambar pertanyaan diberikan di bawah ini (saya harus makan siang, jadi pikirkan cara yang lebih cepat untuk mengajukan pertanyaan saya dan berakhir dengan ini):

Apa yang saya coba :

Saya merasakannya $f(x) - x^3$bisa memberi saya nilai bagian kuadrat dari polinomial. Akibatnya, mengambil bagian kuadrat menjadi bentuk$ax^2 +bx + c$, perbedaan yang saya dapatkan adalah:

1. $f(1) - 1^3 = a + b + c = 0$
2. $f(2) - 2^3 = 4a + 2b + c = -4$
3. $f(3) - 3^3 = 9a + 3b + c = -18$

Saya bukan ahli dalam memecahkan 3 persamaan linier dalam 3 variabel, tetapi saya mencoba dan akhirnya menarik rambut saya (mencoba menjadi sedikit sastra; harap Anda tidak keberatan dengan susunan kata, melainkan berkonsentrasi pada pertanyaan). Saya mencoba mengambil 2 persamaan sekaligus, dan akhirnya mendapatkan beberapa nilai untuk variabel yang sama.

Saya akan berterima kasih kepada siapa pun yang bersedia membantu saya.

Answer 1

1. $f(1) - 1^3 = a + b + c = 0$
2. $f(2) - 2^3 = 4a + 2b + c = -4$
3. $f(3) - 3^3 = 9a + 3b + c = -18$

Persamaan ketiga salah

Mengurangi persamaan (1) dari persamaan (2)

$ 4a + 2b + c -( a + b + c) = -4-0$

$3a +b = -4$------------------------------ persamaan (3)

Mengurangi persamaan (1) dari persamaan (3)

$9a + 3b + c -(4a + 3b + c) = -18-(-4)$

$5a = -22$ $a = \frac{-2}{5}$ Gantikan ini di semua persamaan dan Anda akan mendapatkan jawabannya

Answer 2

Catat itu $f(x) = x^2$memenuhi tiga persamaan yang diberikan. Tapi kami ingin gelar$3$ jadi kami menambahkan $(x-1)(x-2)(x-3)$ dan dapatkan $$f(x) = (x-1)(x-2)(x-3) + x^2$$ dengan $f(4) = 6+16 = 22$.

Answer 3

Petunjuk: Pertimbangkan $f(x)-x^2$sebagai gantinya. Jauh lebih mudah untuk bekerja dengan polinomial yang 0 pada titik tertentu.

Answer 4

Sedangkan solusinya melibatkan $x^2$ seperti yang dimaksudkan oleh pembuat pertanyaan, juga mudah untuk mendapatkan nilainya dengan cepat $f(4)$tanpa mengekstraksi kuadrat dengan menggunakan perbedaan hingga. Membiarkan$g(n) = f(n) - n^3$, seperti di OP, jadilah kuadrat. Perbedaan urutan pertama adalah:

$$\Delta g(1) = g(2)-g(1) = -4 \\ \Delta g(2) = g(3) - g(2) = -14.$$

Jadi perbedaan orde kedua adalah $\Delta^2 g(1) = \Delta g(2) - \Delta g(1) = -10$, yang untuk setiap polinomial kuadrat (atau lebih rendah) adalah konstan. Karenanya$\Delta^2 g(2) = -10$, jadi $\Delta g(3) = \Delta g(2) -10 = -24$, dan $g(4) = g(3) -24 = -42$.

Begitu $f(4) = 4^3 -42 = 22$.

Answer 5

Kita punya $$a+b+c=0,$$ $$4a+2b+c=-4$$ dan $$9a+3b+c=-18,$$ pemberian yang mana $$(a,b,c)=(-5,11,-6)$$ dan $$f(x)=x^3-5x^2+11x-6.$$ Jadi, $$f(4)=22.$$

Answer 6

Kita tidak perlu menentukan koefisien polinomial secara eksplisit, memang kita memilikinya dengan keunikan

$$f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)+\frac12(x-2)(x-3)-4(x-1)(x-3)+\frac92(x-1)(x-2)$$

yang memenuhi konstruksi dengan kondisi yang diberikan $f(1)=1$, $f(2)=4$ dan $f(3)=9$, kemudian

$$f(4)=(3)(2)(1)+\frac12(2)(1)-4(3)(1)+\frac92(3)(2)=6+1-12+27=22$$

Seperti yang diperhatikan oleh jawaban lain, lebih rumit lagi kita memiliki itu

$$f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)+x^2$$

Answer 7

Diberikan $f(x)$ , polinomial kubik monik.

$f(1) = 1$, $f(2) = 4$, $f(3) = 9$

Dengan teorema faktor kita dapat menunjukkan itu $(x-1)$,$(x-2)$ dan $(x-3)$ adalah faktor dari $f(x) - x^2$

Kami memiliki tiga faktor linier sehingga kami dapat menulis $f(x)$ sebagai,

$f(x) - x^2 = k(x-1)(x-2)(x-3)$, di mana k adalah beberapa konstanta

Tapi $f(x)$ adalah polinomial monik, oleh karena itu k = 1

dengan demikian polinomial kita menjadi, $f(x) - x^2 = (x-1)(x-2)(x-3)$

Menempatkan x = 4,

$f(4) = 6 + 16 = 22$

Ini adalah teknik umum untuk menyelesaikan soal matematika kompetisi, Anda dapat membaca selengkapnya di sini https://brilliant.org/wiki/polynomial-interpolation/