Variasi operator d'Alembertian

Question

Saya sedang mengerjakan teori gravitasi kuantum turunan yang lebih tinggi, dan saya mengalami masalah dengan variasi operator d'Alembertian.

Misalkan kita memiliki tindakan berikut: \ begin {persamaan} \ mathcal S [g] = \ int d ^ 4x \ sqrt {-g} R \: \ square ^ kR \ end {persamaan} Saat memvariasikan ini sehubungan dengan metrik untuk mencari persamaan bidang asosiasi dari prinsip variasional, kita perlu menghitung sesuatu seperti: \ begin {persamaan} \ delta \ left (\ square ^ kR \ right) \ end {persamaan} Atau dalam kasus yang paling sederhana: \ begin {persamaan} \ delta \ kiri (\ square R \ right) \ end {persamaan}

Dapatkah seseorang membantu saya menemukan variasi istilah ini?

Answer 1

Saya akan mengingat definisi dari d'Alembertian yang bertindak pada beberapa skalar $\phi$: $$\square \phi = g^{\mu\nu}\nabla_{\mu}\nabla_{\nu}\phi = \frac{1}{\sqrt{-g}}\partial_{\mu}\left(\sqrt{-g}g^{\mu\nu}\partial_{\nu}\phi\right)$$Persamaan pertama hanyalah definisi, persamaan kedua adalah latihan standar dalam mata kuliah GR. Dari kursus GR Anda juga harus terbiasa dengan variasi$g$dll. Jadi, dari sini Anda harus bisa melakukan matematika. Mungkin lebih cepat untuk menulis ulang tindakan Anda menggunakan bentuk diferensial.

Btw .: Apa arti dari index $k$ dalam notasi Anda?