$|x|^{3/2}$ sangat cembung?

Question

$$f(x) = |x|^{3/2}, x \in \mathbb{R}$$ Jika Anda mengambil turunan ke-2, Anda mendapatkan $$ f''(x) = \frac{3}{4\sqrt{|x|}}$$ Jika Anda mengikuti persyaratan itu $f$ sangat cembung saat $$f''(x) \geq m \gt 0$$ Kemudian $f$ sangat cembung.

Namun, jika Anda mengikuti persyaratan itu $f$ sangat cembung saat

$$g(x)=f(x)−\frac{m}{2} ||x||^2$$ adalah cembung, $∀x$ dan beberapa $m>0$ $$g(x) = |x|^{3/2} - \frac{m}{2} ||x||^2$$ $g$ jelas tidak cembung sejak itu $\frac{d^2}{dx^2}\frac{m}{2}||x||^2 > \frac{d^2}{dx^2}|x|^{3/2}$ cukup besar $x$.

Tolong beritahu saya dimana kesalahan saya!

Terima kasih

Answer 1

Memang benar begitu $f''>0$ di mana itu didefinisikan, dan sebenarnya $f$ masih cembung pada interval yang mengandung $0$ meskipun $f''(0)$tidak benar-benar ditentukan. (Dalam arti yang agak longgar bisa dikatakan$f''(0)=+\infty$.)

Namun, persyaratan pertama yang Anda sebutkan sebenarnya tidak berlaku karena tidak ada nomor tunggal$m>0$ seperti yang $f'' \geq m$ di mana-mana, sejak $f''$pergi ke nol pada tak terhingga. Jadi$f$ tidak terlalu cembung, namun tetap cembung.