Aproximando uma transformada de Fourier

Question

Suponha que a transformada de Fourier $\hat{f}(k)$ (com $k \in \mathbb{R}^d$) é fornecido e pretende-se obter algumas informações sobre sua contraparte no espaço de posição $f(x)$. Quando o cálculo analítico da transformada inversa de Fourier de$\hat{f}(k)$ não é possível, pode-se ainda ser capaz de extrair informações úteis, especializando-se em regiões específicas de $k$espaço; por exemplo, em física estatística, muitas vezes é costume estudar as propriedades "macroscópicas" de, por exemplo, funções de correlação, examinando o$k\to 0$limite de suas transformadas de Fourier. Parece-me que tal processo é um tanto análogo a olhar para a série de Taylor de uma transformada de Fourier , ou seja, \ begin {equation} \ hat {f} (k) = \ hat {f} \ big \ rvert_ {k = 0} + k \ partial_k \ hat {f} \ big \ rvert_ {k = 0} + \ ldots \ end {equation} Se alguém trunca esta série e tenta executar nela a transformação inversa de Fourier,$$ \int \frac{dk}{2\pi} e^{ikx} \hat{f}_{\rm trunc}(k), $$ em alguns casos, pode-se descobrir que o resultado diverge conforme $k\to\infty$. No entanto, em muitas teorias, e especialmente em teorias de campo, há um corte superior para$k$que determina o alcance de validade dessa teoria; tal corte geralmente resolve a possível divergência da transformada inversa de Fourier.

Pergunta O espaço de posição funciona que é obtido da transformação inversa da série de Taylor truncada$\hat{f}_{\rm trunc}$, com algum corte $\Lambda$, aproxima a função original$f(x)$em algum sentido? caso contrário, existe uma maneira sistemática de obter tal forma aproximada de sua transformada de Fourier$\hat{f}(k)$?

Answer 1

Quando você trunca a expansão de Taylor $0$, você está dizendo que está interessado em modos com comprimento de onda longo. Esses são geralmente os modos de longa duração, de modo que por muito tempo eles descreverão aproximadamente o seu sistema. Em espírito, é como fazer uma granulação grossa: você esquece a dinâmica microscópica rápida e retém apenas as informações macroscópicas. Em um sentido mais rigoroso, tem-se$|| \mathcal{F}^{-1} [\hat f_{trunc}](x) - f(x) ||_2 = || \hat f_{trunc}(k) - \hat f (k) ||_2$, então, se a aproximação de sua transformada de Fourier for boa no $L^2$ sentido então será a aproximação do espaço de posição $f(x)$.