Calcule o momento angular total do objeto girando em torno de 2 eixos (por exemplo, Terra)
Considere a Terra. Ele gira em torno de seu próprio eixo (passando pelos pólos) com alguma velocidade angular$\vec\omega$, e ao redor do sol, com alguma velocidade angular $\vec\Omega$.
Em todos os livros / páginas da web que vi até agora, vi o momento angular devido à órbita do Sol sendo calculado separadamente do momento angular devido à rotação da Terra em torno de seu próprio eixo.
Ótimo. Mas como faço para obter o momento angular completo da Terra?
Estou ciente da seguinte resposta: Momento angular do corpo em rotação e rotação (terra) , mas não acho que responda à pergunta. A resposta usa uma velocidade angular$\vec {\boldsymbol{\omega}}$- mas como você obteria essa velocidade se o objeto estivesse girando em torno de 2 eixos? O teorema de rotação de Euler não se aplica, porque um dos eixos não está no objeto.
Portanto, vou reafirmar a questão: Dada uma velocidade angular orbital $\vec\Omega$ e velocidade angular em torno do eixo da Terra $\vec\omega$, como eu encontraria o momento angular total da Terra (ou um objeto exibindo uma descrição de rotação semelhante com 1 eixo de rotação no corpo, o outro desligado)?
Respostas
Primeiro, considere que o giro da Terra está em um ângulo em relação ao eixo orbital.
Aqui $$\begin{array}{r|c|c|c}\\ \text{Quantity} & \text{Symbol} & \text{Value} & \text{Units} \\ \hline \text{orbital distance} & R & 1 & \text{AU} \\ & & 1.496\cdot 10^{11} & \text{m} \\ \text{orbital speed} & \Omega & 1 & \text{rev/year} \\ & & 1.991\cdot 10^{-7} & \text{rad/s} \\ \text{spin} & \omega & 1 & \text{rev/day} \\ & & 7.2921\cdot 10^{-5} & \text{rad/s} \\ \text{axial tilt} & \theta & 23.4 & \deg \\ & & 0.4084 & \text{rad} \end{array}$$
A rotação combinada (dado o título sobre o eixo x negativo de cima) é
$$ \vec{w} = \pmatrix{0 \\ 0 \\ 1.991 \cdot 10^{-7}} + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & \sin \theta \\ 0 & -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \pmatrix{0\\0\\7.2921 \cdot 10^{-5} } = \pmatrix{0 \\ 2.8961\cdot 10^{-5} \\ 6.7123\cdot 10^{-5} }\; \text{[rad/s]} $$
que pode ser traduzido para
$$ \vec{w} = \pmatrix{0 \\ 5.9735 \\ 13.845 } \; \text{[deg/hr]}$$
O que é interessante é que você pode calcular o centro instantâneo de rotação da Terra em relação à Terra $(c_y,c_z)$ ($c_z$mostrado negativo abaixo). Este é o ponto sobre o qual a Terra está realmente girando.
Para encontrar o ponto, calcule a velocidade orbital ( eixo x positivo está fora da página)
$$ \vec{v} = \vec{\Omega} \times \pmatrix{0\\-R\\0} = \pmatrix{ 2.9785\cdot 10^{4} \\ 0 \\0} \;\text{[m/s]}$$
e então o centro de rotação
$$ \pmatrix{ 0 \\ c_y \\ -c_z} = \frac{ \vec{w} \times \vec{v}}{ \| \vec{w} \|^2} = \pmatrix{0 \\ 3.7410\cdot 10^{8} \\ -1.6141\cdot 10^{8} }\;\text{[m]} $$
o que é interessante considerando em unidades de distância lunar (1 LD = 384402000 m )
$$ \pmatrix{ 0 \\ c_y \\ -c_z} = \pmatrix{ 0 \\ 0.9732 \\ -0.4199 }\;\text{[LD]} $$
que é quase um LD em direção ao sol sempre, e metade LD sob a terra no solstício de verão e metade LD acima da terra no solstício de inverno.
Agora que a cinemática da Terra está estabelecida, podemos falar sobre dinâmica.
A terra está girando com $\vec{w}$ e assim seu momento angular no centro da terra é $$\vec{L}_E = \mathrm{I}_E\, \vec{w}$$ Onde ${\rm I}_E$ é o momento de inércia da massa da terra.
Mas, uma vez que a Terra também está transladando, ela tem momento linear $$ \vec{p} = m_E \vec{v}$$.
Para calcular o momento angular da Terra em torno do Sol, combinamos ambas as quantidades com a seguinte regra
$$ \vec{L}_S = \vec{L}_E + \pmatrix{0\\-R\\0} \times \vec{p} $$
Se você fizer o cálculo, encontrará a maior parte do momento angular ao longo do eixo z , com um pequeno componente ao longo do eixo y .
O interessante é que você pode encontrar o local no espaço por onde passa o eixo de percussão da Terra. De forma semelhante ao anterior, este ponto é
$$ \pmatrix{0\\h_y\\h_z} = \frac{ \vec{p} \times \vec{L}_E}{ \| \vec{p} \|^2} $$
O significado deste ponto no espaço é que se você aplicasse um momento igual e oposto $\vec{p}$para a terra através do centro de percussão, a terra não apenas pararia de orbitar, mas também pararia de girar . Você pode remover toda a energia cinética da Terra com um impulso por meio deste ponto. Pararia a Terra em seu caminho.
Surpreendentemente, a regra para somar duas velocidades angulares não depende se o "eixo dessas velocidades angulares" passa pelo objeto ou não, e se elas se cruzam ou não.
A velocidade angular de um corpo não depende de sua escolha do referencial inercial. Suponha que temos alguma flecha presa ao corpo; no momento$t_0$ esta flecha apontou para uma estrela distante $A$; no momento$t_1$ esta flecha apontou para outra estrela distante $B$- bem, se for verdade, então é verdade em todos os sistemas de referência inerciais. E a rapidez com que a orientação do corpo muda - não depende do quadro de referência (desde que o quadro de referência seja inercial).
Agora vamos medir a velocidade angular total da Terra. É possível medi-lo primeiro no referencial fixado ao Sol e girando de tal forma que a velocidade da Terra seja zero. Digamos que a velocidade angular da Terra neste quadro de referência é$\vec\omega$. A velocidade angular do quadro de referência é$\vec\Omega$, então a velocidade angular total da Terra é $\vec\omega + \vec\Omega$. É um vetor direcionado para uma estrela polar, sua magnitude é de aproximadamente$1/86164sec$ - onde 86164 é o número de segundos no dia sideral, que é o período de rotação da Terra em relação às estrelas distantes.
Agora, a segunda parte de sua pergunta: "Em todos os livros / páginas da web que vi até agora, vi o momento angular devido à órbita do Sol sendo calculado separadamente do momento angular devido à rotação da Terra em torno de seu próprio eixo. "
Desta vez, o quadro de referência está ligado ao Sol e é inercial. A maneira "justa" de calcular o momento angular total da Terra neste quadro de referência é dividir a Terra em muitas partes pequenas, calcular o momento angular de cada parte e somar os resultados. A maneira mais fácil seria calcular o momento em torno do centro de massa da Terra, do que calcular o momento da Terra como se toda a sua massa estivesse localizada em seu centro de massa e somar esses dois vetores. O resultado total seria o mesmo - é um teorema matemático simples.
Observe que o momento devido à rotação da Terra em torno de seu eixo é muito menor do que o momento devido à rotação da Terra em torno do sol. Mais importante, não apenas o momentum total de Erath (que é a soma desses dois vetores) é constante no tempo, cada um desses componentes é constante! (ignoramos a influência da Lua e de outros planetas). Então, se você quiser calcular os detalhes de como a velocidade da Terra depende da distância ao Sol (leis de Keppler) - você pode ignorar com segurança a parte da "rotação em torno do próprio eixo" do momento angular da Terra.