$\cap_{n=1}^{\infty}A_n$ e infinito
Uma questão:
- Se a definição de $\cap_{n=1}^{\infty}A_n=\{x\in A_i\forall n\in N\}$ e não está vazio, isso significa que seus elementos pertencem à interseção infinita de $A_n$ ou qualquer interseção finita de $A_n$ para todos os números naturais?
Para elaborar mais, gostaria de mostrar como me sinto em relação a esta notação confusa $\cap_{n=1}^{\infty}A_n$.
Compreendendo a análise Steven Abbott
Exemplo 1.2.2 em que define $A_i = \{x\in N: x\geq i\}$. Por indução, não é vazio para cada interseção finita. Mas uma prova por contradição pode mostrar que quando vai para o caso infinito , que usa a notação$\cap_{n=1}^{\infty}A_i$, é um conjunto nulo. Em outras palavras, neste exemplo, essa notação é usada para interseção infinita.
Teorema 1.4.1 no qual prova a propriedade do intervalo aninhado. $I_n = \{x\in R: a_n\leq x\leq b_n\}$. Aqui, não especifica se esta é uma interseção infinita ou não. Em vez disso, disse:$\exists x\forall n\in N x\in I_n$. Portanto, isso$x\in\cap_{n=1}^{\infty}A_n$. Em outras palavras, neste exemplo, esta notação é usada para cada número natural finito
Teorema 1.5.8 diz se$A_n$ é um conjunto contável para cada $n\in N$, então $\cup_{n=1}^{\infty}A_n$é contável. Em outras palavras, neste exemplo, essa notação é usada para interseção infinita.
Estou confuso com essa notação no sentido de que a notação inclui o sinal do infinito, mas sua definição significa todo número natural. Portanto, sempre que vejo, simplesmente não sei qual aplicar.
Diga se eu vou na direção em que é aplicável $\forall n\in N$, então a indução deve funcionar porque a indução está fazendo exatamente a mesma coisa! Porém, este post sugere o contrário, dizendo que a notação é sobre o infinito .
Tudo bem, eu mudo de direção em que se trata de interseção infinita. Mas então, em alguns casos, por exemplo, aquele que listei acima, de alguma forma, se algo é aplicável a todos os números naturais, está bom fazer parte dessa notação.
Resumindo, sinto que esta notação tem 2 significados conflitantes
- $\forall n\in N$
- Infinidade
Já fiz pesquisas e fiz perguntas antes, mas ainda não entendo. Então eu acho que entendi algo totalmente errado e confuso em algumas definições.
Respostas
$\bigcap_{n=1}^\infty A_n$é um conjunto. Qual conjunto? O conjunto de todas as coisas que pertencem a cada um dos conjuntos$A_n$ para $n\in\Bbb Z^+$. Deixei$\mathscr{A}=\{A_n:n\in\Bbb Z^+\}$; então$\bigcap\mathscr{A}$ significa exatamente a mesma coisa. $\bigcap_{n=1}^\infty A_n$ é simplesmente uma notação habitual que significa nem mais nem menos do que $\bigcap_{n\ge 1}A_n$, $\bigcap\mathscr{A}$e $\bigcap\{A_n:n\in\Bbb Z^+\}$. Não há$A_\infty$: a $\infty$ é apenas um sinal de que o índice $n$ é assumir todos os valores inteiros positivos.
Suponha que para cada número real positivo $x$ eu deixo $I_x$ seja o intervalo aberto $(-x,x)$. Então$\bigcap_{x\in\Bbb R^+}I_x$é o conjunto de todos os números reais que pertencem a cada um desses intervalos abertos. E se$\mathscr{I}=\{I_x:x\in\Bbb R^+\}$, então
$$\bigcap\mathscr{I}=\bigcap_{x\in\Bbb R^+}I_x=\bigcap_{x\in\Bbb R^+}(-x,x)=\{0\}\,.$$
Como eu sei? E se$y\in\Bbb R\setminus\{0\}$, então $y\notin(-|y|,|y|)=I_{|y|}$, então há pelo menos um membro de $\mathscr{I}$ que não contém $y$e, portanto, por definição $y$ não está na interseção dos conjuntos da família $\mathscr{I}$. Por outro lado,$0\in(-x,x)=I_x$ para cada $x\in\Bbb R^+$, assim $0$ está no cruzamento$\bigcap\mathscr{I}$.
Em nenhum dos casos usamos a indução em qualquer lugar. No caso dos conjuntos$A_n$ podemos ser capazes de usar indução em $n$ para mostrar que cada um dos conjuntos $A_n$ tem alguma propriedade $P$, mas não poderíamos estender essa indução para mostrar que $\bigcap\mathscr{A}$ tem $P$. Podemos de alguma forma ser capazes de usar o fato de que cada$A_n$ tem propriedade $P$ para mostrar isso $\bigcap\mathscr{A}$ também tem $P$, mas isso exigiria um argumento separado; não faria parte da indução. O argumento de indução nesse caso provaria que
$$\forall n\in\Bbb Z^+(A_n\text{ has property }P)\,;$$
o argumento separado então mostraria, usando esse resultado e outros fatos, que o único conjunto $\bigcap\mathscr{A}$ tem propriedade $P$. Você poderia chamar este conjunto$A_\infty$se você desejasse fazer isso, mas isso seria apenas um rótulo; você poderia igualmente chamá-lo$A$, ou $X$ou mesmo $A_{-1}$, embora de improviso eu não consiga imaginar por que você gostaria de usar esse último rótulo.
No caso dos conjuntos $I_x$ não há possibilidade de usar indução para mostrar que cada $I_x$ tem alguma propriedade: esses conjuntos não podem ser listados como $I_1,I_2,I_3$, e assim por diante, porque são incontáveis muitos deles. Ainda podemos provar coisas sobre o set$\bigcap\mathscr{I}$, Contudo. E poderíamos dar a ele qualquer rótulo conveniente.$\bigcap\mathscr{I}$é informativo, mas talvez um pouco inconveniente; Eu posso escolher dar a ele um rótulo mais prático$I$.
No caso de $\mathscr{A}$ acontece que existe uma notação habitual que usa o símbolo $\infty$, mas isso é simplesmente uma consequência do fato de que os conjuntos $A_n$são indexados por inteiros. Estamos fazendo exatamente o mesmo tipo de coisa no exemplo com$\mathscr{I}$, mas nesse caso não há possibilidade de usar um limite de $\infty$ na interseção, porque não há como indexar os incontáveis conjuntos $I_x$ por inteiros.