Como calcular uma var da soma de dois coeficientes em regressão linear [duplicado]

Question

Essencialmente, depois de realizar a regressão em três variáveis,

$$ y = a_0 + a_1 \cdot x_1 + a_2 \cdot x_2 + a_3 \cdot x_3 $$

Eu quero encontrar variância para $a_1+a_2$para obter CI. Logicamente, acho que posso fazer

$$\text{Var}(a_1+a_2)=\text{Var}(a_1)+\text{Var}(a_2)+\text{Cov}(a_1,a_2)$$

e calcular a covariância de dois normais porque a partir dos resultados do modelo eu saberia a média e a variância de $a_1$ e $a_2$, e eles são normalmente distribuídos assintoticamente.

1. Estou preso em como obter a covariância de dois RV normais. Alguma orientação?
2. Existe um código simples para calcular isso em python ou R?

Answer 1

você pode usar vcov(model)em R para encontrar a matriz de covariância.

a = rnorm(100)
b = rnorm(100,1,1)
c = rnorm(100,2,2)
y = rnorm(100,3,1)
m1 = lm(y~a+b+c)

Suponha que você tenha um modelo linear $y = \beta_1 \cdot a + \beta_2 \cdot b + \beta_3 \cdot c+\epsilon$ Onde $a, b, c$são os regressores, então você pode usar o código acima para ajustar o modelo. Em seguida, basta digitar vcov(m1), você pode obter a matriz de variância-covariância.

> vcov(m1)
              (Intercept)             a             b             c
(Intercept)  0.0236168925  0.0008928804 -0.0072752173 -0.0048195656
a            0.0008928804  0.0089417637 -0.0007706158 -0.0005058700
b           -0.0072752173 -0.0007706158  0.0084035744  0.0002730054
c           -0.0048195656 -0.0005058700  0.0002730054  0.0022051924

Então você pode usar a fórmula comum para obter o IC.

btw: $\text{Var}[X+Y] = \text{Var}[X] + \text{Var}[Y] + 2 \cdot \text{Cov}[X,Y]$